Cevaplar

2012-11-15T22:10:25+02:00

Küme, "nesneler topluluğu veya yığını" olarak tanımlanan bir matematik terimi. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade eder. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz abecesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıktır. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif eder. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin bir topluluğuna küme denir" biçiminde bir tanımlama sezgisel olarak ilk başta yeterli olacaktır.

Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırdedilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir.

Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin öğeleri veya batısal terimi ileelemanları adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir öğesidir. Bir kümenin öğesi olan bir nesneye o kümenin içindedir ya da kümeye aittir denir. Küme tanımına göre bir öğe ya kümenin içindedir ya da değildir.

İki kümenin kesişimi her iki kümede bulunan ortak öğelerden oluşur. Venn diyagramında gösterimi.

A ve B kümelerinin kesişimi

Küme Kavramları [değiştir] Eğer a elemanı A kümesine aitse bu ifade a  A diye; değilse aA gösterilir. A kümesinin eleman sayısı belirtilirken s(A) veya m(A) ifadesi kullanılır. A ile B' nin kesişimi A  B şeklinde gösterilir. A ile B' nin birleşimi A  B şeklinde gösterilir. A' nın B'den farkı A/B , B'nin A'dan farkı B/A olarak gösterilir. Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa A B(A,B'nin alt kümesidir.) veya B A(B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılır. Eğer yoksa sembollerin üstüne bir çizik atılır. Hiçbir öğesi bulunmayan kümeye boş küme denir ve { } şeklinde gösterilir.Bütün kümelerin alt kümesidir. Bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. ve E şeklinde gösterilir.Bu kavram görecelidir çünkü bazen sadece bulunduğu alanda evrensel küme olarak gösterilir. Eğer s(A)=s(B) ise A, B kümesine denktir.Eğer elemanları aynıysa 'eşit'(AB),hiçbir elemanı aynı değilse ayrık küme olurlar.(AB) E kümesinde A'dan ayrık olan elemanlar gösterilirken bu elemanlar A'nın tümleyeni kümesinde toplanır.()(A'nın üstünde bir virgül veya kısa çizgi.)

 

Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Elbette Cantor'dan önce de, adına küme denilmese de, matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanıyorlardı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Onun çalışmaları ve sorularından yola çıkarak matematiğin temelleri incelendi, araştırıldı, çıkmazları keşfedildi, paradokslarından temizlendi. Bu gelişmeler, matematiğin ve özellikle formalist akımın 20. yüzyılın ilk yarısında büyük ürünler vermesini sağladı. Bunun etkisiyle, Türkiye'de örgün öğretim programlarına "Modern Matematik" olarak adlandırılan konular dahil edildi.

Ayrıca bakınız [değiştir] Öğe Gönderme (Fonksiyon) Bağıntı Kümeler kuramı Belirtisiz (Bulanık) Küme Matematik ile ilgili bu madde bir taslaktır. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

 

Kategoriler:  Matematik taslakları Kümeler teorisi   Hesap oluştur Oturum aç Madde Tartışma Oku Değiştir Geçmişi gör   Ana sayfa Hakkımızda İçindekiler Rastgele madde Seçkin içerik Katılım Bağış yapın Deneme tahtası İş birliği projesi Köy çeşmesi Son değişiklikler Topluluk portali Yardım Yazdır/dışa aktar Araçlar Diğer diller Alemannisch አማርኛ العربية Беларуская Беларуская (тарашкевіца)‎ Български বাংলা Bosanski Català کوردی Česky Dansk Deutsch Ελληνικά English Esperanto Español Eesti Euskara فارسی Suomi Võro Français Furlan 贛語 Gàidhlig Galego

Ido

L Meti
1 3 1
2012-11-15T22:10:33+02:00

A. TANIM

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.

Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,
a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur.
b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

 

 

      B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

   Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

 

    1. Liste Yöntemi

   Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

   A = {a, b, c} ise, s(A) = 3 tür.

 

   2. Ortak Özelik Yöntemi

   Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir     ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

  A = {x : (x in özeliği)}

   Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

   Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

 

3. Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

 

 

    C. EŞİT KÜME, DENK KÜME

    Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

    A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

    C kümesi D kümesine denk ise C º D dir.

 

Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

 

 

 

    D. EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER

   Tamamen aynı elemanlardan oluşmayan kümelere eşit olmayan (farklı) kümeler denir.

   A = {a, b, c}, B = {a, b, d} ise A ¹ B dir.

   A = {1, b, 7}, B = {a, 2, d, 5} ise A ¹ B dir.

 

 

   E. BOŞ KÜME

   Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

    Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.

 

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

 

 

 

    F. ALT KÜME

   A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.
   A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.

   A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir.
   B É A biçiminde gösterilir.

   C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

 

   Alt Kümenin Özelikleri

Her küme kendisinin alt kümesidir. A Ì A

Boş küme her kümenin alt kümesidir. Æ Ì A

(A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.

(A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir.

n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.

 

 

      G. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

   1. Kümelerin Birleşimi

   A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B  biçiminde gösterilir.

 

 

     2. Birleşim İşleminin Özelikleri

A È Æ = A

A È A = A

A È B = B È A

A È (B È C) = (A È B) È C

A Ì B ise, A È B = B

A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

 

     3. Kümelerin Kesişimi

    A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.

 

 

    4. Kesişim İşleminin Özelikleri

A Ç Æ = Æ

A Ç A = A

A Ç B = B Ç A

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

 

 

     H. İKİ KÜMENİN FARKI

    A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A   B biçiminde gösterilir.

 

 

 

 

     İ. ELEMAN SAYISI

    A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)

s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)

s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)

a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı: a + b + c

Sadece tenis oynayanların sayısı: a

Sadece voleybol oynayanların sayısı: c

Tenis oynamayanların sayısı: c + d

Voleybol oynamayanların sayısı: a + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı: a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı: d + a + c

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı: d

0