Cevaplar

2012-11-19T17:54:39+02:00

Kümelerde Birleşim İşlemi ve Özellikleri

Sembol

birleşim işlemi, “ U ”

Örnek: A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4} kümelerinin tüm elemanlarını bir araya getirerek yazalım:

Çözüm: {a, b, c, 1, 2, 3, 4} olur. Bu küme A ve B kümelerinin birleşim kümesidir

Kümelerde her eleman yalnız bir kez yazılır. İki kümenin birleşimi bu iki kümenin tüm elemanlarından oluşur. Birleşim işlemi “∪” sembolüyle gösterilir. A ve B gibi iki kümenin birleşimi sembolle “A ∪ B” biçiminde gösterilir,“A birleşim B” diye okunur.

Örnek: Aşağıdaki Venn şemasına göre A, B ve A∪ B kümelerini yazalım. Ayrıca eleman sayılarını bulalım.

 

Çözüm: A = {1, 2, 3, 4, 5}  s(A) = 5

B = {1, 2}  s(B) = 2

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}  s(A) = 5

 

Örnek: A = {a, b, c} ve B = {4, 5, 6} kümelerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi inceleyelim


Çözüm: s(A) = 3 ve s(B) = 3’tür.


Eleman sayıları aynı olan kümeler, birbirine denktir.

 

Ayrık küme: Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık küme denir.

 

Örnek: C = {z, t} ve D = {3, t, z} kümeleri veriliyor. C ∪D ve D∪C kümelerini bulup karşılaştıralım.

Çözüm: C ve D’nin ortak elemanları vardır. Bu elemanlar birleşim kümesine yalnız bir kez yazılmalıdır. O hâlde;

 

C ∪ D = {z, t} ∪ {3, t, z} = {z, t, 3} olur.

D ∪ C = {3, t, z} ∪ {z, t} = {3, t, z} olur.

Buradan, C ∪ D = D ∪ C olduğu görülür.


Örnek: Aşağıdaki şemayı ve birleşim işlemini inceleyelim:

 

Çözüm: B ∪ (C ∪ D)= {2, 3, 4} ∪ ({1, 2, 5} ∪ {5, 6})

= {2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5, 6}

= {2, 3, 4, 1, 5, 6} olur.

(B ∪ C) ∪ D= ({2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5}) ∪ {5, 6}

= {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {5, 6}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. Buradan,

B ∪ (C ∪ D)= (B ∪ C) ∪ D olduğu görülür.

 

Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.


Örnek: M = {m, n} ve P = { } kümeleri veriliyor. M∪P kümesini bulalım.


Çözüm: M∪ P = {m, n} ∪ { } = {m, n} olur.


Bir kümenin boş kümeyle birleşimi, o kümeye eşittir.


Örnek: A = {1, 2, 3} kümesine eşit olan B kümesini yazalım.


Çözüm: Eşit olan kümeler aynı elemanlardan oluşacağından,

B = {1, 2, 3} olur.

 

Örnek: K = {x, y, z} olsun K ∪ K kümesini bulalım.


Çözüm: K∪ K= {x, y, z} ∪ {x, y, z}

= {x, y, z} olur.


Bir kümenin kendisi ile birleşimi, o kümenin kendisine eşittir.


 

 

Kümelerde Kesişim İşlemi ve Özellikleri

Örnek: A = {1, 2, 3, 4} ve B = {4, 3, 5, 6} kümelerinin ortak olan elemanlarını bulalım:

Çözüm: Bu elemanları küme olarak {3, 4} şeklinde gösterebiliriz.

Bulduğumuz bu küme, A ve B kümelerinin kesişimidir.


İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu küme, bu kümelerin kesişim kümesidir. Kesişim işlemi “∩” ile gösterilir. A ve B gibi iki kümenin kesişimi sembolle “A ∩ B” biçiminde gösterilir, “A kesişim B” diye okunur


Örnek: A = {a, b, c} ve B = {e, f} kümeleri verilsin. A∩ B kümesini bulalım:

Çözüm: A ∩ B = {a, b, c} ∩ {e, f}= Ø olur.

Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.

Ayrık kümelerin kesişim kümesi boş kümedir.

Örnek: Yandaki şemaya göre K∩L kümesini bulalım.

Çözüm: K ve L kümelerinin ortak elemanlarının bulunduğu bölgeyi yukarıda boyalı gösterdik.

Buna göre K∩L = {4, 7} olur.


Sembol

kesişim işlemi, “ ∩ ”

 

Örnek: Aşağıdaki şemaya göre A, B ve A∩B kümelerini bulalım.

Çözüm: Şemaya göre; A = {4, 8},

B = {2, 4, 8, 7, 9, 11},

A∩B = {4, 8} ’dir.


Örnek: L = {s, t, u} ve K = { k, t, p, s} kümeleri veriliyor.

L∩K ve K∩L kümelerini bulalım.

Bu kümeleri karşılaştıralım.

Çözüm: L∩K = {s, t, u} ∩{k, t, p, s} = {s, t} olur.

K∩L = {k, t, p, s} ∩{s, t, u} = {t, s} olur.

Buradan,L∩K = K∩L olduğu görülür.



Kümelerde kesişim işleminin değişme özelliği vardır.

 

Örnek: A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 6} ve C = {4, 5, 6} kümeleri verilsin.

A∩(B∩C) ve (A∩B)∩C kümelerini bulalım.


Çözüm: Önce A, B, C kümelerini Venn şemasıyla gösterelim:

A∩(B∩C) = {1, 2, 3, 4} ∩ ({2, 3, 4, 6} ∩ {4, 5, 6})

= {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 6}= {4} olur.


(A∩B)∩C = ({1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3, 4, 6}) ∩ {4, 5, 6}

= {2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6}= {4} olur.


Buradan, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C olduğu görülür.


Kümelerde kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.

 

Örnek: Aşağıdaki şemaya göre s(A), s(B), s(A ∩ B)

ve s(A ∪ B) değerlerini bulalım.

Çözüm: A = {a, b, c, d, e} olduğundan s(A) = 5’tir.

B = {1, 2, 3, a, b, c} olduğundan s(B) = 6’dır.

A∩B ={a, b, c} olup s(A ∩B)= 3’tür.

A∪B ={a, b, c, d, e, 1, 2, 3} olup s(A∪B)= 8’dir.

 

 

Çözümlü Küme Problemleri

 

Problem 1 : Bir turist grubundakiler ingilizce ve Almanca dillerinden en az birini konuşabilmektedir.

Hem ingilizce hem de Almanca konuşanların sayısı 9, ingilizce konuşanların sayısı 15 ve Almanca konuşanların sayısı 24 olduğuna göre grupta kaç kişi vardır ?

 

Çözüm: ingilizce konuşanların kümesi İ olsun.

s(İ) = 15’tir.

Almanca konuşanların kümesine A dersek, s(A) = 24’tür.

Her iki dili konuşanların kümesi İ ∩ A ’dır.

s(İ ∩ A) = 9’dur.

Şimdi bu verileri Venn şemasında göstererek isteneni bulmaya çalışalım:

 

Turist grubunda, 6 + 9 + 15 = 30 kişi vardır.

 

 

Problem 2 : 30 kiflilik bir sınıftaki öğrencilerden bazıları yüzme veya voleybol kurslarına katılmaktadır.

Sadece yüzme kursuna katılanların sayısı 10, sadece voleybol kursuna katılanların sayısı 13 ve bu iki kursa devam etmeyen öğrencilerin sayısı 2 olduğuna göre hem yüzme hem de voleybol kursuna katılan öğrencilerin sayısı kaçtır?

 

Çözüm: Yüzme kursuna katılanların kümesi Y, voleybol kursuna katılanların kümesi V olsun.

Sadece yüzme kursuna katılanlar Y V, sadece voleybol kursuna katılanlar V Y olarak gösterilir.Bu verileri bir şemada gösterelim:

 

Hem yüzme hem de voleybol kursuna katılan öğrencilerin sayısı, 30 – (10 + 13 + 2) = 30 – 25= 5’tir.



ben bunu buldum inşallah yardımcı olmuıştur 

0