Cevaplar

  • Eodev Kullanıcısı
2012-11-30T00:13:54+02:00

Tanım: V ve W bir F cismi üzerinde iki vektör uzayı olsun.
Her a,b V ve c F için;
T: V  W dönüşümü
T(0V)=0W ve T (ca+b) = cT(a) + T(b) eşitliğini sağlıyorsa T’ye V’den W’ya bir lineer dönüşüm denir.

Başka bir deyişle; lineer dönüşüm özelliklerini şöyle de verebiliriz...

 Her a,b V için T(a+b) = T(a) + T(b)
 Her c F ve a V için T(ca) =cT(a) dır...

Lineer dönüşümlerle ilgili bir tane örnek verelim:

Örnek: T: IR3  IR2
(x1, x2, x3)  (x1+x2 , 2x2 – x3) T dönüşümünün lineer dönüşüm olduğunu gösterelim:

T (0,0,0) = (0+0, 2.0 – 0) = (0,0) = 0IR2

i) Her (x1, x2, x3) , (y1, y2, y3) Є IR3 için T ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = T (x1, x2, x3) + T (y1, y2, y3) ?

 T ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = T ((x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3))

= (x1 + y1 + x2 + y2 , 2(x2 + y2) – (x3 + y3))

= ((x1 + x2) + (y1 + y2) , 2x2 – x3 + 2y2 - y3)

= (x1 + x2 , 2x2 – x3) + (y1 + y2 , 2y2 - y3)

= T (x1, x2, x3) + T (y1, y2, y3)

ii) Her v = (x,y,z) Є IR3 için ve Her k Є IR için T(kv) = kT(v) ?

 T(kv) = T(k(x,y,z)) = T(kx, ky, kz)

= (kx + ky , 2ky – kz) = (k(x + y) , k(2y – z)) = k(x + y , 2y – z) = k T( x,y,z) = kT(v)

 i ve ii koşulları sağlandığından T: IR3  IR2 dönüşümü bir lineer dönüşümdür...

Bir örnek daha verecek olursak T: IR3  IR2 (x1, x2, x3)  (x1 - 3 , 2x2 +1) dönüşümü lineer dönüşüm değildir. Çünkü T(0,0,0) = (-3,1) 0IR2

Lineer Dönüşümlerin Çekirdeği ve Görüntüsü

Tanım: T: V  W bir lineer dönüşüm olsun.
ImT ={w W | T(v) = w her v Є V} kümesine T’nin görüntü kümesi denir...
KerT ={v V | T(v) = 0w} kümesine de T’nin çekirdeği denir.

Teorem: KerT’nin V’nin bir altuzayı olduğunu gösteriniz...

T(0) = 0  0 eleman Kert ≠ 0 dır.
v1, v2 KerT ve c F için cv1 + v2 KerT
v1, v2 KerT  T(v1) = 0 ve T(v2) = 0
T(cv1 + v2) = cT(v1) + T(v2) = c.0 + 0 = 0

 cv1 + v2 KerT

Teorem: V sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve T: V  U lineer dönüşüm olsun. O zaman

dimV = dim (KerT) + dim (ImT)
boyV = boy (KerT) + boy (ImT)

Örnek: T: IR3  IR [x]
(a,b,c)  (a - b) + (b - c) x + (c – a) x2

Buna göre KerT ve ImT’nin bir baz ve boyutunu bulunuz.

KerT = { (a,b,c) | T (a,b,c) = 0 + 0x + 0x2 = 0 )

T(a,b,c) = (a - b) + (b - c) x + (c – a) x2 = (0 + 0x + 0x2)

a-b = 0 (1) , b – c = 0 (2) , c – a = 0 (3)

(1) ve (3) ü toplayalım. c – b = 0 (4) , a – b = 0 (5) , b – c = 0 (6)
(5) ve (6) yı toplayalım. a – b = 0 , b – c = 0 , 0 = 0

dim KerT = 3 bilinmeyen – 2 denklem = 1

c = 1 olsun  a = 1 , b = 1  ßKerT = { (1,1,1) }

dimV = dim KerT + dim ImT
3 = 1 + 2

 dim ImT = 2

KerT = { (a,b,c) Є IR3 | T(a,b,c) = 0 } = { (a,a,a) | a Є IR} = { (x,y,z) | x=y=z }

Şimdi ImT için dim ImT = 2 bulmuştuk.

E IR3 = {e1 , e2 , e3} gererse T(e1), T(e2), T(e3) ImT’yi gerer.

T(1,0,0) = 1 + 0x + (-1)x2
T(0,1,0) = -1 + 1x + 0x2
T(0,0,1) = 0 + (-1)x + 1x2

1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1
-1 1 0  0 1 -1  0 1 -1
0 -1 1 0 -1 1 0 0 0

 Sıfırdan farklı satır sayısı dim ImT = 2
ßImT = { a1 = 1 + 0x - x2 , a2 = 0 + x - x2 }

Her p(x) ImT = { T(v) | v IR3 }

(u0 + u1x + u2x2) , u0 = a – b, u1 = b – c, u2 = c – a

1 0 0 u0 1 -1 0 u0 1 -1 0 u0
0 1 -1 u1  0 1 -1 u1  0 1 -1 u1
-1 0 1 u2 0 -1 1 u0 + u2 0 0 0 u0+u1+u2

 u0+u1+u2 = 0 ImT = { (u0 + u1x + u2x2) | u0+u1+u2 = 0 , u0, u1, u2 IR) }

Tersinir Lineer Dönüşümler

Örnek: T: IR3  IR3
(x,y,z)  (2x , x – y , x + y + z) dönüşümünün tersini olup olmadığını araştırınız. Tersinir ise T-1 = ?

T’nin tersinir olabilmesi için 1-1 ve örten olması gerekir.

T, 1-1 ise KerT = {0} olmalı.
KerT = { (x,y,z) Є IR3 | T(x,y,z) = (0,0,0) }

 T(x,y,z) = (2x, x-y, x+y+z) = (0,0,0)

2x=0 x = 0
x – y = 0 y = 0  v = (x,y,z) = (0,0,0)  T , 1-1‘dir.
x + y + z = 0 z = 0 KerT = (0IR3 )

dim IR3 = dim ImT + dim KerT  3 = 3 + 0  dim ImT = 3
ImT ≤ IR3 (3 ≤ 3)  ImT= IR3  T(IR3) = IR3  örten

 T tersinir...

T(x,y,z) = (a,b,c) olsun. T-1 (a,b,c) = T-1 ( T (x,y,z) )

(2x , x – y , x + y + z) = (a,b,c) T-1 (a,b,c) = (x,y,z)

 x = a/2 , y = a/2 – b , z = c – a + b T-1 (a,b,c) = (a/2 , a/2 – b , c – a + b)


Dual Uzay

Tanım: V(F) ve F(F) iki vektör uzayı olsun. V  F uzayına bütün lineer dönüşümlerin kümesi F üzerinde bir vektör uzayıdır. Bu uzaya V’nin dual uzayı denir. Ve genelde V* ile gösterilir...

Bu uzayın elemanlarına V’de lineer formlar ya da lineer fonksiyoneller denir.

Tanım: V(F) < ∞ bir vektör uzayı, ß = {v1 , v2 , .... , vn } V’nin bir bazı olsun. O zaman V* dual uzay V ile aynı boyuttadır.

Böylece ß* = { v1*, v2*, .... , vn*} = {f1 , f2 , ... , fn} bazı vardır. ß* bazına ß’nin dual bazı denir.

Herhangi bir f V* lineer formu;

f = f(v1) v1* + .... + f(vn) vn* ile

ve herbir v V vektörü;
V = V1* (V) V1 + ... + Vn* (V) Vn şeklinde ifade edilebilir...

Örnek: V = (IR3:IR) vektör uzayıının bir bazı ß = { v1 = (1,-1,3) , v2 = (0,1,-1) , v3 = (0,3,-2) } olsun.
ß bazına dual olan ß* dual bazını bulunuz...

ß* = {f1 , f2 , f3}

fi : IR3  IR

(x,y,z)  a1x + a2y + a3z
f1 = a1x + a2y + a3z olsun...

f1 (v1) = 1  f1 (1,-1,3) = a1 - a2 + 3a3 = 1
f1 (v2) = 0  f1 (0,1,-1) = a2 - a3 = 0
f1 (v3) = 0  f1 (0,3,-2) = 3a2 - 2a3 = 0

1 -1 3 1 1 -1 3 1
0 1 -1 0  0 1 -1 0  a3 = 0 , a2= 0 , a1= 1
0 3 -2 0 0 0 1 0

 f1 (x,y,z) = x

f2 = b1x + b2y + b3z olsun...

f2 (v1) = 0  f2 (1,-1,3) = b1 - b2 + 3b3 = 1
f2 (v2) = 1  f2 (0,1,-1) = b2 - b3 = 0
f2 (v3) = 0  f2 (0,3,-2) = 3b2 – 2b3 = 0

1 -1 3 0 1 -1 3 0
0 1 -1 1  0 1 -1 1  b3 = -3 , b2= -2 , b1= 7
0 3 -2 0 0 0 1 -3

 f2 (x,y,z) = 7x – 2y – 3z

f3 = c1x + c2y + c3z olsun...

f3 (v1) = 0  f3 (1,-1,3) = c1 - c2 + 3c3 = 0
f3 (v2) = 0  f3 (0,1,-1) = c2 - c3 = 0
f3 (v3) = 1  f3 (0,3,-2) = 3c2 – 2c3 = 1

1 -1 3 0 1 -1 3 0
0 1 -1 0  0 1 -1 0  c3 = 1 , c2= 1 , c1= -2
0 3 -2 1 0 0 1 1

 f3 (x,y,z) = - 2x + y + z

 ß* = {f1 , f2 , f3} = { x , 7x – 2y – 3z , - 2x + y + z }

 


Örnek: V: (IR3:IR) vektör uzayının dual uzay V*ın

ß*= f1(x,y,z) = x + y + z bazının duali olduğu V’nin ß = {v1, v2, v3} bulunuz...
f2(x,y,z) = y - z
f2(x,y,z) = z


v1 = (x1, y1, z1)

f1 (v1) = x1 + y1 + z1 = 1 z1 = 0 , y1 = 0 , x1 = 1  v1 = (1,0,0)
f2 (v1) = y1 - z1 = 0
f3 (v1) = z1 = 0

v2 = (x2, y2, z2)

f1 (v2) = x2 + y2 + z2 = 0 z2 = 0 , y2 = 1 , x2 = -1  v2 = (-1,1,0)
f2 (v2) = y2 – z2 = 1
f3 (v2) = z2 = 0

 

v3 = (x3, y3, z3)

f1 (v2) = x3 + y3 + z3 = 0 z3 = 1 , y3 = 1 , x3 = -2  v3 = (-2,1,1)
f2 (v2) = y3 – z3 = 0
f3 (v2) = z3 = 1


 ß = {v1, v2, v3} = { (1,0,0) , (-1,1,0) , (-2,1,1) }

 

3 3 3