Cevaplar

2012-09-30T14:10:09+03:00

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,

a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin
elemanı değildir.” 
diye okunur.

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.


  Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.


 

A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ


Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.


1. Liste Yöntemi


Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.


A = {a, b, {a, b, c}} Ş s(A) = 3 tür. 

2. Ortak Özellik Yöntemi


Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.


A = {x : (x in özelliği)}


Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.


Bu ifade “x ” biçiminde de yazılabilir.

3. Venn Şeması Yöntemi


Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ilegösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.




Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.




C. EŞİT KÜME, DENK KÜME   Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.


A kümesi B kümesine eşit ise A = B, C kümesi D kümesine denk ise C º D biçiminde gösterilir. Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.


D. BOŞ KÜME


Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.   Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.


Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir. {.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir. {Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir. {Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.


E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME


  1. Alt Küme


  A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B'nin alt kümesi denir.


A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.   A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B ÉA biçiminde gösterilir.   C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.


2. Özalt Küme


Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özellikleri

1) Her küme kendisinin alt kümesidir.   A Ì A


2) Boş küme her kümenin alt kümesidir.


Æ Ì A


3) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.


4) (A Ì B ve B Ì C) Ş Ì C dir.   5) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2nve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.


6) n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı














              F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER


1. Kümelerin Birleşimi


A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.   A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.













 






  2. Birleşim Işleminin Özellikleri



1) A È Æ = Ai

2) A È A = A

3) A ÈB = B È A

4) A È (B È C) = (A È B) È Cv) A Ì B ise, A È B = B

5) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.


3. Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B ninkesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.

Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.






 






 




 




 



4. Kesişim Işleminin Özellikleri

1) A Ç Æ = Æ

2) A Ç A = A

3) A Ç B = B Ç A

4) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

5) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

6) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G. EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.



 




 




 

H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A’ ile gösterilir.

A = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir.

Tümleyenin Özellikleri

1) Æ

2) Æ E

3) ()= A

4) A È A = E ve A Ç A = Æ

5) È B = A Ç B

6) Ç B = A ÈB

7) E È A = E ve E Ç A = A

8) A Ì B ise, B Ì A dir.


İKİ KÜMENİN FARKI

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir.

Farkla İlgili Özellikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

1)E – A = A

2)A – B = A Ç B

3) A – B = È B dir.

ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

1) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)

2) s(A È È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C)– s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)

3) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)

4) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

s(T – V) + s(V – T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:

s(T) = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

s(Ç B) = s(È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

s(A ÈB) = d

2 5 2
2012-09-30T14:10:10+03:00

Küme: İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Buradaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan varlıklar demektir. Kümeler genellikle büyük harflerle isimlendirilir ve gösterilirler. Ör: A kümesi

Küme Belirtmez

Çalışkan öğrenciler

Uzun boylu insanlar

Bazı hayvanlar

Birkaç gün

Küme Belirtir

Boyu 1.50 m'den uzun öğrenciler

Uçan hayvanlar

P harfi ile başlayan günler

 

KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI

Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir. Eleman Î sembolü ile gösterilir. Elemanı değilse Ï sembolü ile gösterilir.

Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.

 

Ör: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.

Pazartesi Î A , Pazartesi A kümesinin elemanıdır.

Salı Ï A , Salı A kümesinin elemanı değildir.

s(A)=3 , A kümesinin eleman sayısı 3'tür.

 

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir.

Not: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur.

 

1-Liste Yöntemi

Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Örnek:

A = { 1, 2, 3 } - A kümesinin eleman sayısı 3'tür.

B = { 123 } - B kümesinin eleman sayısı 1'dir. Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123'tür.

2-Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özeliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

Örnek:

A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir.

K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme K = { x | x Î N ve x < 4 } olarak gösterilebilir.

P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.

3- Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

Yanda A = { a, b, c } kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir. Şema ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır.

 

EŞİT KÜME, DENK KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A = { 1, 2, 3 } , B = { 1, 2, 3 } ve C = { a, b, c }

A kümesi ile B kümesi eşittir. Sembolle A = B

A kümesi ile C kümesi denktir. Sembolle C º D

NOT: Her eşit küme denktir fakat her denk küme eşit değildir.

 

BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.

NOT: {Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

 

EVRENSEL KÜME

Belirli bir alandaki tüm elemanları içeren kümeye Evrensel Küme denir. Genellikle E harfi ile gösterilir.

A = { 1, 7, 9 } ve B = { 11, 13 } olsun. Bu kümelerin evrensel kümesi Tek Sayılar veya Sayılar olabilir.

 

ALT KÜME

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir.

É A biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

Alt Kümenin Özelikleri

Her küme kendisinin alt kümesidir. A Ì A Boş küme her kümenin alt kümesidir. Æ Ì A (A Ì B ve B Ì A) ise A = B dir. A = B ise (A Ì B ve B Ì A) dir. (A Ì B ve B Ì C) ise A Ì C dir. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.

 

KÜMELERDE İŞLEMLER

1-Kümelerde Kesişim

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.

Kesişimin Özellikleri

Ç Æ = ÆÇ A = A A Ç B = B Ç A (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

 

2-Kümelerde Birleşim

A kümesindeki ve B kümesindeki bütün elemanların oluşturduğu kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B  biçiminde gösterilir.

Birleşimin Özellikleri

È Æ = A A È A = A A È B = B È A A È (B È C) = (A È B) È C A Ì B ise, A È B = B A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

 

3-İki Kümenin Farkı

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

 

4-Bir Kümenin Tümleyeni

A kümesinin dışındaki elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Başka bir ifade ile evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. A' şeklinde gösterilir.

Ör:

A = { 1, 2, 3 } ve E ={ Rakamlar } olsun. A kümesinin tümleyeni

A' = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olur.

Not: A È A' = E

5 3 5