Cevaplar

2012-12-12T18:04:02+02:00
Kökleri verilen ikinci derece denklem 

Kökleri verilen bir ikinci derece denklemi basit bir şekilde şöyle yazabiliriz. Kökleri 2 ve 3 olan bir denklem düşünelim:

(x2)(x3)=0

Bu ifadeyi dağıttığımızda x25x+6=0 çıkar. Burada x'in katsayısı 5 in kökler toplamının ters işaretlisine, sabit sayı olan +6'nın verilen köklerin çarpımına eşit olduğuna dikkat edelim. İlerde ispatını yapacağımız gibi, bu her zaman böyle olmak zorundadır. Hemen başka bir örnek yazalım: Kökleri 1 ve 4olan denklem

(x1)(x4)=0

Dağıttığımızda x25x+4=0 çıkar. Gene x'in katsayısının ters işaretlisi verilen köklerin toplamına, sabit sayı da çarpımı olan +4'e eşit oldu.

 

Demek ki kökleri verilen bir denklemin açık halini hemen yazabiliriz. Örneğin kökleri 2 ve 6 olan denklemin açık halini yazalım. Kökler toplamı 8 ve çarpımı 12 dir. Demek ki denklem

x28x+12=0

 

Bir denklemin açık halini hemen yazmak için Ç yapmamız yeterli oluyor.  kökler toplamını, Ç ise kökler çarpımını ifade ediyor.)

Şimdi ilk yazdığımız denklemi, , bir sayı ile çarpalım. Örneğin

Gene bu eşitliği sağlayan  değerleri  ve  tür. Denklemi sabit bir sayı ile çarpınca kökler değişmiyor. Ancak dağıtınca

elde ediyoruz. Artık  in katsayısı kökler toplamını vermiyor. Ancak  nin katsayısına bakıp denklemin kaçla çarpıldığını anlayabiliriz,  ile. Demek ki  i  e bölmemiz yeterli. Yani eğer 'nin katsayısı değilse, tüm denklemi o sayıya bölersek kökler çarpımını ve toplamını yine görebiliriz.

 

Kökler toplamı ve çarpımı 

Şimdi yazacağımız sonuç artık anlaşılmaktadır:

şeklinde verilen bir denklem için kökler toplamı

çarpımı ise

dır.

 

0