Cevaplar

2012-12-14T22:23:12+02:00

 

Binom açılımı ve harfli ifade örnekleri

Mayıs 29, 2009 at 17:15 | Matematik(Lise)
- Yazar admin | Yorumlar yapılmış

A ) HARFLİ İFADELER :

5a, пr², 3x, x², 2y, (a-b), x²y², x+y-z,  gibi ifadelere harfli ifadeler denir

 

KATSAYI :

3x²y türü bir ifadede 3 e katsayı denir

TERİM :

Harfli ifadelerde eksi ( – ) veya artı ( + ) işaretleriyle birbirinden ayrılan kısımlara terim denir

BENZER TERİMLER :

Harfleri ve harflerin kuvvetleri ( üssü ) aynı olan ifadelere benzer terimler denir

Örneğin ;
5x ile 7x
-2x² ile 5x²
4a ile -3a
B ) HARFLİ İFADELERDE DÖRT İŞLEM :

TOPLAMA VE ÇIKARMA:

Harfli ifadelerde toplama veya çıkarma yapılırken benzer terimlerin katsayıları toplanır, benzer terimin harf kısmı aynen yazılır

Örnek 1:
3a²b – a²b + 4a²b + a²b = ( 3 – + 4 + 1 ) a²b
= ( – + – ) a²b

= a²b

Örnek 2 :
2x²y + 3xy² + 5x²y – xy² = ( 2 + 5 ) x²y + ( 3 – 1 ) xy² = 7x²y + 2xy²

ÇARPMA :

Çarpma yapılırken, katsayılar çarpılır katsayı olarak yazılır Aynı harflerin üsleri toplanır harfe üs olarak yazılır Aynı olmayan harfler ise aynen yazılır

Örnek 1:
( 4x²y )( 5x²y²a ) = 45( x²x²yy²a ) = 20x y³a³

Örnek 2:
ax³y²( ay x³ – y²xa² ) = ax³y²ay x³ – ax³y²y²a² = a²x y – a³x y

Örnek 3:
( x+2 ) ( x²-3x+4 ) = x ( x²-3x+4 )+2( x²-3x+4 ) = x³-3x²+4x+2x²-6x+8
= x³-x²-2x+8
BÖLME :

Bölme yapılırken, katsayılar bölünür katsayı olarak yazılır Aynı harflerin üsleri çıkarılır üs olarak yazılır Aynı olmayan harfler aynen kalır

Örnek 1:
10x²y

-5xy
Örnek 2:
4a b²c + 16 a b c² 4a b²c 16a b c²

8a²b c 8a²b c 8a²b c

=
=
C ) BİNOM AÇILIMI :

( x ± y )ⁿ nin x ile y kuvvetlerinin toplamı ve çarpımı şeklinde yazılmasına binom açılımı denir ( x + y ) nin tam kuvvetlerinin açılımında elde dilen terimlerin katsayıları Pascal üçgeni yardımıyla bulunur
1 ( x ± y )

1 1 ( x ± y )

1 2 1 ( x ± y )

1 3 3 1 ( x ± y )

1 4 6 4 1 ( x ± y )

1 5 10 10 5 1 ( x ± y )

Örnek 1:

( x ± y ) = 1

( x ± y ) = 1x +1 y = x+y

( x ± y ) = 1x²+2xy+1y²= x²+2xy+y²

( x ± y ) = 1x + 3x²y + 3xy² + 1y = x + 3 x²y + 3xy² + y

( x ± y ) = x + 4x y + 6x²y² + 4xy + y

( x ± y ) = x + 5x y + 10x y² + 10x²y + 5xy +y

• ( x ± y )ⁿ açılımında n+1 terim vardır
• ( x ± y )ⁿ açılımında katsayılar toplamı 2ⁿ dir
• ( x ± y )ⁿ açılımının her terimindeki x ve y nin üsleri toplamı n dir
• ( x ± y )ⁿ açılımında katsayılar toplamını bulmak için x=y=1 alınır
• ( ax+ by )ⁿ açılımında katsayılar toplamı ( a+b )ⁿ dir
• Pascal Üçgeni simetriktir, baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları aynıdır
• ( x-y ) açılımda ( aradaki işaret “ – “ olduğundan her terimde bir sırayla işaret değiştirilerek yazılır
D ) ÖZDEŞLİKLER :

Çözüm kümesi R ( reel sayılar ) olan eşitliklere özdeşlik denir ( a+b)²=a²+2ab+b² gibi Çözüm kümesi R olmayan, R nin bir alt kümesi olan açık önermelere denklem denir 3x+5=8 açık önermesi bir özdeşlik değil, denklemdir Yani özdeşlik bilinmeyenin her değeri için doğrudur, denklem ise bilinmeyenin bazı değerleri için doğrudur Bazı önemli özdeşlikleri şu şekilde sıralayabiliriz

İKİ KARE FARKI :

a² – b² = (a – b) (a + b) = a ( a + b) – b(a + b) = a² + ab – ba – b² = a² – b²
İKİ TERİMİN TOPLAMININ KARESİ :

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a(a + b) + b(a + b ) = a² + ab +ba + b² = a² + 2ab + b²

İKİ TERİMİN FARKININ KARESİ :

(a – b )² = (a – b) (a – b) = a(a – b) – b(a – b) = a² – ab – ba + b² = a² – 2ab + b²

İKİ TERİMİN TOPLAMININ KÜPÜ :

(a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) = ( a² + 2ab + b² ) (a + b)
= a ( a² + 2ab + b² ) + b ( a² + 2ab + b² )
= a + 2a²b + ab² + ba² + 2 ab² + b
= a + 3a²b + 3 ab² + b

İKİ TERİMİN FARKININ KÜPÜ :

(a – b) = (a – b) (a – b) (a – b) = ( a² – 2ab + b² ) (a – b)
= a ( a² – 2ab + b² ) – b ( a² – 2ab + b² )
= a – 2a²b + ab² – ba² + 2 ab² – b
= a – 3a²b + 3 ab² – b

E ) ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ :

Bir harfli ifadeyi çarpanlara ayırma işlemi, çarpımları o ifadeyi veren çarpanları bulmak demektir

ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALARAK ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMİ :

Her terimde katsayıların ebob’u veya her terimdeki aynı (ortak) çarpan ifadelerinin parantez dışına alınmasına denir

Örnekler :
ax – bx² + cx = x ( ax² – bx + c)
a – b = – ( b – a )
x + 4x² – x = x ( x² + 4x – 1 )
(a – 2) x + y ( 2 – a) = (a – 2) x – y (a – 2) = (a – 2) (x – y)

GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMİ :

Verilen ifadenin terimleri uygun şekillerde gruplara ayrılır ve ayrılan gruplarda ortak bir çarpan bulunmaya çalışılır

Örnekler :

ax + bx + ay +by = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)

I Grup II Grup
2a(b + 1) + 3b + 3 + ab + a = 2a(b + 1) + 3(b + 1) + a(b + 1) = (b + 1) ( 2a + 3 + a)
= (b + 1) (3a + 3) = 3(a + 1) (b + 1)

İKİ KARE FARKINDAN FAYDALANARAK ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMİ :

İki kare farkı olan ifadeleri çarpanlara ayırırken, a² – b² = (a – b) (a + b) özdeşliğinden faydalanılır Bu özdeşliği şu şekilde yorumlayabiliriz “ Verilen a² – b² ifadesinde a² nin karekökü ve b² nin karekökü bulunur Bu bulunan ifadelerin arasına ( – ) ve ( + ) işaretleri konularak çarpılır

Örnekler :

4² – x² = (4 – x) (4 + x)
25 – y² = (5 – y) (5 + y)
a – b² = ( a –b) ( a –b)
1-16x²= 1² – (4x)² = (1 – 4x) (1 + 4x)
(3a-2)²-1= (3a – 2 – 1) (3a – 2 + 1) = (3a – 3) (3a – 1)
TAM KARE OLAN İFADELERDEN FAYDALANMA YÖNTEMİ :

Tam kare olan üç terimli ifadelerde, iki terimin karekökleri çarpımının iki katı ortadaki terimi vermektedir

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

Örnekler :

x² – 2x + 1 = (x –1)²

x 1
x² + 4x + 4 = (x + 2)²

x 2
X²+ BX +C ÜÇ TERİMLİSİNİ ÇARPANLARINA AYIRMA YÖNTEMİ :

Bu şekildeki üç terimlileri çarpanlarına ayırırken, çarpımları C (sabit terim), toplamları B (x’in katsayısı) olan iki sayı aranır

Örnekler :

x² + 7x + 6
61 = 6 ve 6+1 = 7 olduğundan
x² + 7x + 6 = (x + 6) (x + 1)

x² – 4x + 3
(-3)(-1)=3 ve (-3)+(-1)= – 4 olduğundan
x² 4x + 3 = (x – 3) (x – 1)
x – 3
x – 1
F) SADELEŞTİRME :

Pay ve paydadaki ifadeler çarpım durumunda değilse, önce çarpanlarına ayrılır sonra sadeleştirmeler yapılır

Örnekler:

1 + —- ———- m + 1 m²

———— = ————————- = —————-  ——————

1 – —– ———– m² m² – 1

m + 1 m
= ————  ———————————
1 (m + 1) (m – 1)

m
= ————-
m – 1
x² – 10x +25 x + 5 (x – 5) (x – 5) (x + 5)
—————-  ———- = ——————-  ———— = 1
x² – 25 x – 5 (x – 5) (x + 5) (x – 5)

a b – ab ab(a² – b²) (a – b) (a + b)
———— + a – b = ———————– + (a – b) = —————————- + (a – b)
a²b – ab² ab(a – b) (a – b)

1 5 1