Cevaplar

2012-12-15T13:32:06+02:00
Rasyonel Sayılar ( , rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının [[ortak Her tam sayıoranlı sayıdır. Çünkü  veya  veya  şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Oranlı sayılar kümesi , tam sayılar kümesi  'yi kapsar. Yani  .

Tanım Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve Q ile veya  ile gösterilir.  kümesi genelde şöyle tanımlanır:



Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir oranlı sayı olarak anılır. kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı



olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları



olurlar. Oranlı sayı ise basitçe



şeklinde tanımlanır.

Tanımda paydanın sıfır olmama şartı  ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.  
3 5 3
2012-12-15T13:32:33+02:00

TANIM: a , b birer tam sayı ve b = 0 olmak üzere ------- şeklinde yazılabilen 

Sayılara Rasyonel Sayılar denir. A’ ya rasyonel sayının payı B’ ye rasyonel sayının paydası adı verilir.Q ile gösterilir. 

-8 -7 40 
------ , -------- , --------- , -5 , 0 , 7 vb...
5 10 -3



KESİR ÇEŞİTLERİ

1-Basit kesir
İşaretlerine bakılmaksızın payı paydasında küçük olan kesirlere basit kesir denir.

a a
-1 < ------ < 1 ise -------- basit kesirdir.
b b

1 -3
------- , ------- , 0 vb...
-4 5 


2-Bileşik kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından büyük veya payı paydasına eşit olan kesirlere bileşik kesir denir.

a a a
------ < -1 veya ------- > 1 ise ----- bileşik kesirdir.
b b b

5 -8
-15 , -12 , ----- , --------- , 1 , 7 vb...
-4 5



3-Tam sayılı kesir
Sıfır hariç bir tam sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesir sayılarına tam sayılı kesir denir.

b b b b
a -----=a+ ------ ve –a------ = a- ------ olur.
c c c c 

1 2 1 8 
-2----- , -3 ------, 2 ------ , 5 ------ vb... 
5 5 8 15



Örnek:
a+4
------------ kesrinin basit kesir olabilmesi için ‘‘a’’ nın alabileceği doğal sayılar 
8
kümesi nedir?

Cevap:


a+4<8 a<8-4 ise a<4’dür.Buradan da ‘‘a’’ nın alabileceği doğal sayılar kümesi (0 , 1 , 2 , 3 )’tür.
Rasyonel Sayılarda 4 İşlem


Toplama – Çıkarma 
• Paydaları eşit kesirlerde toplama – çıkarma işlemi yapılırken kesirleri payları kendi arasında işlem yapılır.Payda aynen yazılır.
• Paydaları eşit olmayan kesirlerde toplama – çıkarma işlemi yapılırken kesirlerin eşit olmayan paydaları ortak bir paydada eşitlenerek paydaları eşit kesirlerde olduğu gibi toplama – çıkarma yapılır.
(Paydalar e.k.o.k ‘ larında eşitlenir)

a c ad (+/-) bc b ac (+/-) b
------(+/-) ------- = ------------------ ve a (+/-) ------- = ------------------- ‘dir.
b d bd c c



Örnek:

3 5 9 10 9+10 19
----- + ----- = ----- + ------ = ---------- = ------ ‘dir
4 6 12 12 12 12
( 3 ) ( 2 )


Toplama İşleminin Özellikleri


*Kapalılık Özelliği

İki rasyonel sayı toplandığı zaman sonuçta yine rasyonel sayı elde edilir. Bu nedenle rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalı olur.

*Değişme Özelliği

10 -3 - 3 10
------- + ------- = ------- + --------
15 15 15 15 

7 7
------ = ------- Rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme 
15 15
özelliği vardır.

*Birleşme Özelliği

1 7 5 1
( ---- + ------ ) = ( ------ + ------- ) 
2 12 6 4 
( 6 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 

6 7 10 3
------- + ---------- = -------- + ------ Rasyonel sayılarda toplama 
12 12 12 12 işleminin birleşme özelliği verdır. 

13 13
---- + ---- 
12 12 
13 

*Etkisiz Eleman
1 1 
----- + 0 = ------- Rasyonel sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı 
5 5
0’dır. 

• a a
----- rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi - ------- ‘dir.
b b 


Çarpma
Paylar çarpılır paya yazılır.Paydalar çarpılır paydaya yazılır.

a c a c
----- . -------- = -------- . --------
b d b d 

Örnek:
1 8
------ . ------- 
3 2 3
----- . ---------------------- işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 
4 2 9
------ . -------
3 4 
2 1
A-) 2 B-) 1 C-) ----- D-) ------
3 2

CEVAP: -C-

Çarpma İşleminin Özellikleri

*Kapalılık Özelliği
3 -1 -3 3
---- . -------- = ------ ------- c Q
5 4 20 5





İki rasyonel sayı çarpıldığında sonuçta rasyonel
sayı elde edilir.Buna rasyonel sayılarda çarpma işleminin kapalılık özelliği 
denir.


*Değişme Özelliği

-2 -1 -1 -2
----- . ----- = ----- . --------
3 4 4 3

Buna çarpma işleminin değişme özelliği denir.Rasyonel sa-
yılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.



*Birleşme Özelliği


-4 -4 -1 -1 -1 -1 -1 -1
----- = ----- ---- .( ----- . ------ ) = ( ---- . -------- ) . -------
105 105 3 2 4 3 2 4

-1 1 1 -1 -1 -1
---- . ( ----- ) = ( ----- ) . ---- -------- = ---------- 
3 8 6 4 24 24

Rasyonel sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.


*Etkisiz Eleman 

1 1 -1 1
1 . ----- = ----- 1 . --------= ---------- 
3 3 5 5

Rasyonel sayılarda çarpma işleminin etkisiz elemanı ‘1’ sayısıdır.






• ‘‘0’’ hariç her rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi vardır.

a b
----- ‘nin çarpma işlemine göre tersi ---- ‘dır.(a=0)
b a

‘‘0’’ yutan elemandır.

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerine ters çevrilerek
Çarpma işlemi yapılır.

BÖLME

Birinci (paydaki) kesir aynen yazılır.İkinci(paydadaki) kesir ters çevrilerek
Çarpma işlemi yapılır.







a
------
b a c a d a.d
---------------- = ----- : ------ = ------ . ------ = -----------
c b d b c b.c
------


‘‘ 0 ’’ hariç olmak üzere , rasyonel sayılar kümesi bölme işlemine göre 
kapalıdır.

2 3 2