Cevaplar

2012-12-21T20:27:06+02:00

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

 

I) Tam Kare Özdeşliği:

 

a) İki Terim Toplamının Karesi :  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

b) İki Terim farkının Karesi       :   (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

 

c) Üç Terim Toplamının Karesi:

 

(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.

 

 

II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

 

a) İki Terim Toplamının Küpü :  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 

b) İki Terim Farkının Küpü      :  (a – b)3 = a3  – 3a2b + 3ab2 – b3

 

Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikincinin  küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom  Açılımıda denir

 

Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak  4.,5.,6.,...Dereceden iki terimlilerin özdeşliklerini de yazabiliriz.

 

 

III)   İki Kare Farkı Özdeşliği:      (a + b) (a – b) = a2 – b2

 

İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir.

 

 

IV) xn + yn  veya xn - yn  biçimindeki polinomların Özdeşliği :

 

i)

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

 

ii)

a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)

a4 –  b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)

 

iii)

a5 + b5  = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

a5 – b5  = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

 

iv)

a6 + b6  = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)

a6 –  b6  = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)

 

v)

a7 + b7  = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)

a7 –  b7  = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)

 

 

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

 

1)  x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy

 

2)  x2 + y2  = (x – y)2 + 2xy

 

3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy

 

4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

 

5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)

 

6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)

 

7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)

 

 

1)  İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?

 

x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy              2ab = 289 – 145

145 =  (17)2 – 2ab                     2ab = 144         ab = 72     C= 72

 

2)   a – b = 6            (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab       (a + b)2 = 44

a . b = 2                          = ( 6 )2  + 4.2             (a + b) =

a + b = ?                         =  36 + 8                                = 44

 

3)   a – 2b = 3  ise;  a2 + 4b2 = ?    a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b

a . b = 2                                                 = ( 3 )2 + 2. 2 .2  = 17

 

4)   a + b = 12  ise;  a . b = ?    (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab    4 ab = 108

a – b = 6                               ( 12 )2 = ( 6 )2  + 4ab           ab = 27

 

5)

m + n =8                        x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

m . n = 1                         m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)

m3 + n3 = ?                                  = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488

 

6)

a3 – b3 = 50                    x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

a – b = 2 ise;                   a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

a . b = ?                          50 = 8 + 6ab   6ab = 42 ab = 7

 

7)

x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

= ( 3 )3 + 3.1.( 3 ) = 36

10) ise;      x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

198

 

8)

a + b + c = ?               a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

ab + ac + bc = 12                          = ( 7 )2 – 2 ( 12 )

a2 + b2 + c2 = ?                              = 49 – 24 = 25

0