Cevaplar

  • Eodev Kullanıcısı
2012-12-22T18:56:42+02:00

Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometrinin bazı ögeleri, dahaBabilliler ve Eski Mısırlılar döneminde biliniyor, Eski Yunanlılar Menelaos’un Küresel geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant, kotanjant, sekant,kosekant kavramlarını geliştirdiler.[kaynak belirtilmeli].

Batı’da Nasirettin Tusi’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus’un Üçgen üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar.John Napier logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri fonksiyonlarının ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı.[kaynak belirtilmeli].

Düzlemsel trigonometri aslında her tür düzlemsel üçgen için geçerli olmakla birlikte, bağıntılar genellikle dik üçgenlerde tanımlanır. Açılarından biri (x) 0° ile 90° arasında olan bir dik üçgenin (düzlemsel bir üçgende iç açıların toplamı 180° olduğu için) öteki açısı 90-x'e eşittir. Böyle bir üçgende dik açının karşısındaki kenar |OD| hipotenüsO 'nun karşısındaki kenar |CD| karşı kenar|OC| 'ya komşu olan kenar ise komşu kenar olarak adlandırılır. Bu kenarlar birbirlerine ikişer ikişer altı farklı biçimde oranlanabilir, böylece A açısının trigonometrik fonksiyonlarıtanımlanmış olur.

Açı

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.

[OA ve [OB ışınlarına açının kenarları, O noktasına ise açının köşesi denir.

Birim (trigonometrik) çember [değiştir] Birim çember

Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çemberveya trigonometrik çember denir. Birim çemberin denklemi  şeklindedir.

Birim çemberde verilen bir  noktası;

1.bölgede  2.bölgede  3.bölgede  4.bölgede  dır. Açıyı ölçmek demek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.

Bazı açı ölçü birimleri şunlardır;

DERECE: Bir tam çember yayının 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir.

GRAD: Bir tam çember yayının 400 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 grad denir.

RADYAN: Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Çember yayının ölçüsü  radyandır ve radyanla çarpılarak bulunur.

Sarma işlevi [değiştir]

Gerçel sayılar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan işleve sarma işlevi denir.

Sarma işlevini s ile, birim çemberi de C ile gösterirsek işlev

şeklinde yazılabilir ve  oldugunda  olur. Başka bir deyişle, sarma işlevi, gerçel sayılar üzerinde dönemi (periyodu)  olan bir işlevdir.

Bir açının esas ölçüsü [değiştir]

a) Verilen açı  ya da  ise;

 in esas ölçüsü kendisidir.

b) Verilen açı  ya da  ise;

 in 360 a bölümünden kalan esas ölçüyü verir.

c) Verilen açı  ise;

 360 a bölümünden kalan  olsun.

O halde,  in esas ölçüsü  dır.

Trigonometrik işlevler [değiştir] Sinüs, kosinüs ve tanjant.

Sağdaki resimdeki gibi verilmiş bir  üçgeninde

Sinüs (kısaltılmış biçimi; sin),  kosinüs (cos),  tanjant (tan ya da tg),  kotanjant (cot)  sekant (sec),  kosekant (cosec) ve 

olarak adlandırılır.

Bu tanımlardan görülebileceği gibi, bu işlevler arasında,

 (Pisagor teoremi)

 

ilişkileri vardır.

Dik üçgenlerde bazı açıların trigonometrik oranları [değiştir]   Trigonometrinin kullanım alanları [değiştir]

Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır:

jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik mühendisliği, elektronik, jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı kuramı (ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji (eczacılık),optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji...

Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur. Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagormatematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik fonksiyonlar farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok farklı dalda kullanım olanağı bulmuştur. Böylece ısı akışı ve difüzyon başta olmak üzere özellikle periyodik özellik gösteren kavramların incelendiği birçok dalda ve fenomende trigonometrik fonksiyonlar kullanılabilmiştir; akustik, radyasyon ve elektronik gibi..

0
2012-12-22T19:03:35+02:00

Eski Yunanca "üçgen" ve "ölçü" sözcüklerinden meydana gelir. 

Trigonometri üçgenlerin kenar ve açılarının hesap yolu ile çözümünü konu eder. Üçgenlerin 6 elemanı arasındaki (3 ü açı 3 ü kenar) arasındaki bağıntıları ele alır. Bir üçgenin 6 elemanından az biri kenar olmak üzere 3 ü bilindiğinde diğer elemanları hesaplayabiliriz. Bulunan sonuçlar çok kenarlı şekiller içinde hesaplama sağlar. Bunun için trigonometrik fonksiyonlarda yararlanır. 

Geometride ise verilen elemanlar kullanılarak çizim yapılır. Bilinmeyen elemanların sayı değerlerini, uzunlukları cetvelle, açıları iletki ile ölçerek bulabiliriz. Bu ise çok büyük ve çok küçük uzunlukların veya açıların hesaplanmasında doğru sonuca ulaşmayı zorlaştırır.

Bu durumda geometri ile trigonometri çözüm yolları bakımından ayrılır. Trigonometride şeklin diğer elemanlarını hesap yoluyla bulabilmek için; açı ile uzunluklar arasındaki bağıntıların bilinmesi gerekir.

17. yy da cebirsel gösterimlerle matematiğe giren Trigonometrinin kökeni oldukça eskidir. İ.Ö 2000 li 3000 li yıllarda hesaplamalarda kullanılmaya başlanmştır. Örneğin; Mezopotamya'da Babilliler, daireyi astronomi bilimi ile ilgili olarak 60 'a bölmüşler bir yılda 360 gün olduğunu hesaplamışlardır. Mevsimlerin tekrarı da bu period içinde gerçekleşir.

Eski Mısır 'da da trigonometri astronomi (güneş saati) ve arazi hesaplamalarında (haritacılık) rol oynamıştır. Ahmes papirüsünde (İ.Ö 1550) piramitlerin ölçümüyle ilgili beş problemin çözümünde kullanılmış fakat adı trigonometri olarak ifade edilmemiştir. 

İlk çağlarda yapılan çalışmalarda; 

Yunan bilgini Astronom Hipparchus bir kiriş cetveli kullanmıştır. Menelaos Küresel Trigonometri alanında Hipparchus 'un çalışmalarını genişletmiştir. İskenderiyeli Ptolémee 'nin büyük eseri ALMAGEST 'te yaptığı çalışmaları yazmıştır.

Anaximander 'in (İ.Ö 575) i güneş saatini Isparta 'da yaptığı söylenir.

Thales (İ.Ö 650 - Söke-Milet) ölçümlerinde trigonometriden yararlanmıştır.

Yunanlılar hesaplamalarda kirişden yararlanıyorlardı. Hintliler bunun yerine (sinüs) kullanmışlardır. Sinüs kelimesi, sanskritçe kelimenin arapçaya yanlış tercümesi ve daha sonra 12. yy. da Tivolili Plato tarafından latinceye aynen çevrilmesi sonucu oluşmuştur. Cosinüs ise 15. yy ortalarında kullanır hale gelmiştir.

9. yy da Arap bilgin El Battani, batıya sinüsü tanıtmış, tanjant, kotanjant fonksiyonlarını ve küresel üçgendeki kosinüs teoremini bulmuştur. 9. yy da aynı şekilde Ebulvefa, tanjant cetvelini hazırlamıştır.

13. yy da trigonometri İranlı bilgin Nasiriddin-i Tusi ile bir bilim dalı haline gelir. 15. yy da bu çalışmaları benzer olarak Regiomonatus yapmaya başlar.

Fransız matematikçi Viete küresel üçgendeki bilgileri kutupsal üçgene uygulamış ve sin, cos yı ifade etmiştir.

17. yy da logaritmanın icadı ile hesaplamalar kolaylaşır.

18. yy da Euler Trigonometri formüllerinin yazılış ve kuruluşuna katkı yapar. Örneğin; Üçgenin kenarlarının a , b , c ile ; açılarının A , B , C ile gösterilişi ona aittir.

Daha sonraları Lambert, Lagrange, Gauss, Bessel ve bir çok bilim adamı önemli katkılarda bulunurlar. 

0