Cevaplar

2012-12-24T18:37:42+02:00

Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

1 5 1
2012-12-24T18:39:38+02:00
Başlığın diğer anlamları için Euler (anlam ayrımı) sayfasına bakınız. Üstel fonksiyon ezN sonsuza giderken (1 + z/N)N'ninlimitine eşittir. Böylece, e ifadesi (1 + iπ/N)N'nin limitine eşit olur. Bu canlandırmada N, 1'den 100'e kadar değişen değerler almaktadır. (1 + iπ/N)N ifadesinin hesaplanması karmaşık düzlemde gerçekleştirilen N çarpımın bütüncül etkisiyle açıklanır. N arttıkça (1 + iπ/N)N ifadesinin limiti -1'e yakınsar.

Matematiksel çözümlemede Euler özdeşliği olarak adlandırılan ve Leonhard Euler tarafından bulunan eşitlik

dır. Burada,

, doğal logaritma tabanı Euler sayısını,, karesi -1'e eşit olan karmaşık sayıyı,, bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranına eşit olan pi sayısını ifade eder.

Euler özdeşliği zaman zaman Euler denklemi olarak da adlandırılmaktadır.

Konu başlıkları   [gizle]  1 Özdeşliğin doğası 2 Özdeşliğe ilişkin düşünceler 3 Çıkarımı 4 Genelleme 5 Atıf sorunu 6 Ayrıca bakınız 7 Notlar 8 Kaynakça Özdeşliğin doğası [değiştir]

Euler özdeşliği birçok matematikçi tarafından göze hoş gelen bir denklem olarak tanımlanmaktadır. Denklem, aritmetik işlemlerden toplama, çarpma ve üs almayı içerir. Euler özdeşliği matematiğin beş temel sabitini de içerir:

0 sayısı 1 sayısı Trigonometri, Öklit geometrisi ve matematiksel çözümlemenin vazgeçilmez unsurlarından pi sayısı Doğal logaritma tabanı olarak da adlandırılan e sayısı (e ≈ 2.71828) Karmaşık sayıların temel birimi olan ve integral gibi birçok işleme izin veren i sayısı Özdeşliğe ilişkin düşünceler [değiştir]

Mathematical Intelligencer okurları tarafından yanıtlanan bir anket sonucuna göre Euler özdeşliği matematiğin en hoş kuramıdır.[1] Physics World tarafından 2004 yılında yapılan bir diğer anket sonucuna göre ise Euler eşitliği Maxwell denklemleri ile birlikte "gelmiş geçmiş en büyük denklemler" olarak belirlenmiştir.[2]

Paul Nahin'in Dr. Euler'in Enfes Formülü (2006) adlı kitabı Euler özdeşliğine adanmıştır. Dörtyüz sayfa uzunluğundaki bu kitap Euler özdeşliğinin "matematiksel güzelliğin zirvesine ulaştığı" kanısındadır.[3]

Constance Reid, Euler özdeşliğinin "matematiğin en önemli formülü" olduğunu öne sürmüştür.[4]

Gauss'un bu formülü ilk duyduğunda anlayamayan hiçbir öğrencinin birinci sınıf bir matematikçi olamayacağını söylediğine inanılmaktadır.[5]

19. yüzyılın ünlü matematikçilerinden Benjamin Peirce bir dersinde özdeşliği kanıtladıktan sonra şunları söylemiştir: "Bu özdeşlik ilk bakışta çelişkili gibi duruyor ancak bunu kanıtladıktan sonra gerçeğin ta kendisiyle karşı karşıya olduğumuzu görüyoruz."[6]

Stanfordlu matematik profesörü Keith Devlin, Euler özdeşliği hakkında şunları söylemiştir: "Euler özdeşliği aşkın gerçek anlamını kavrayan bir Shakespeare sonatı ya da insanın ruhuna işleyen bir resim gibi varoluşun en derinlerine iniyor."[7]

Çıkarımı [değiştir] Euler özdeşliğinin rastgele bir açıya uygulanması

Özdeşlik, karmaşık çözümlemedeki Euler formülünün özel bir durumudur. Euler formülü her x gerçel sayısı için aşağıdaki eşitliği sağlamaktadır.

eşitliği sağlanıyorsa

ifadesi elde edilir. Bunun nedeni

ve

eşitliklerinin sağlanmasıdır. Bunun ardından aşağıdaki eşitlik elde edilir.

ve bu eşitlik bizi Euler özdeşliğine götürür.

Euler Bağıntıları

double euler(double exp.'e atfen) bağıntıları

Genelleme [değiştir]

Euler özdeşliği aşağıda formülü verilen eşitliğin n = 2 durumunu sağlar.

Atıf sorunu
0