Cevaplar

  • Eodev Kullanıcısı
2012-12-24T19:04:11+02:00

TANIM1: Aşağıdaki beş takım aksiyomu gerçekleyen en az iki elemanlı  kümesine reel (gerçel) sayılar kümesi, elemanlarına da reel (gerçel) sayılar denir.

I. TOPLAMA AKSİYOMLARI:

Her  için  şeklinde tanımlı  dönüşümüaşağıdaki özellikleri sağlar:

I,

I,

 

I (’a toplamaya göre sıfır veya etkisiz eleman denir),

I (’ye ’nın toplamaya göre tersi denir).

Üzerinde   özelliklerini sağlayan  ikilisine bir değişmeli toplamsal grup (veya Abel grubu) denir. O halde,  bir değişmeli toplamsal gruptur.

II. ÇARPMA AKSİYOMLARI:

Her  için  şeklinde tanımlı  dönüşümüaşağıdaki özellikleri sağlar:

II,

II,

II (’e çarpmaya göre birim eleman denir),

II ( elemanına ’nın çarpmaya göre tersi denir).

 ve  elemanlarının çarpımı, çoğu zaman  yerine  ile gösterilir.

III. ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA İŞLEMİ ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ:

Her  için 

Üzerinde I, II, III özelliklerini sağlayan  üçlüsüne bir cisim denir. O halde  bir cisimdir.

IV. SIRALAMA AKSİYOMLARI:

 üzerinde "" bağıntısı verilmiştir ve  olan herhangi  için  ve önermelerinden bir ve yalnız biri doğrudur. Bu durumda    veya  olarak tanımlanır. Ayrıca "" bağıntısı aşağıdaki özellikleri sağlar:

IV ve ,

IV,

IV ve .

Bu özelliklere göre "" bir tam sıralama bağıntısıdır.

V. TAMLIK AKSİYOMU:

’nin boş olmayan  ve  alt kümeleri  ve  için  eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda,  ve  için  olacak şekilde  elemanı vardır.

Reel sayıların diğer tüm özellikleri I, II, III, IV, V aksiyomlarından ispatlanabilir. Bu özelliklerden bir kısmını bir teorem olarak verelim:

TEOREM1:

1. 'de toplamaya göre sıfır elemanı tektir.

2. 'de her elemanın toplamsal tersi tektir. (Her bir  elemanının toplamaya göre tersi  ile, ile gösterilir)

3.  için  denkleminin tek bir  çözümü vardır.

4. ’de çarpmaya göre birim eleman tektir.

5. Her  sayısının çarpmaya göre tersi tektir. ( ise  olarak ,  ve  için  olarak gösterilir)

6.  için  denkleminin tek bir  çözümü vardır.

0