Cevaplar

2012-12-26T17:30:27+02:00
Dörtgen

Geometri dersinin konularından biri dörtgenlerdir. Dörtgenler kısaca şöyle tanımlanır “en az üç tanesi bir doğru üzerinde olmayan dört noktanın birleştirilmesiyle oluşan dört kenarlı kapalı şekillere verilen genel addır” . Dörtgenler sadecetek tipte olmayıp farklı özellikleri olan şekillerden oluşur. Burada dörtgen çeşitleri ve sahip oldukları genel özellikler hakkında detaylı bilgiler vereceğim…

Dörtgenin Tanımı ve Özellikleri

Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir.

A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir.

ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC] köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz.(Şek.1)

*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 3600’dir.

m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=3600

*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 3600’dir.

m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=3600

*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır. X= ‘dir. (Şek.2)

*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır. X= (Şek.3)



*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC] [DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise

A(ABCD)= e. f. sin (Şek.4)

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S1.S3 = S2.S4 tür. (Şek.5)

*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir. (Şek.6)



*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.7)

İspat: ADC üçgeninde [AC]2 =[DA]2 + [DC]2

ABC üçgeninde [AC]2 =[AB]2 + [BC]2

Buradan;

[AB]2 + [BC]2 = [DC]2 + [DA]2 elde edilir.

*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.8)

İspat: AOB üçgeninde [AB]2 = [AO]2 + [BO]2 DOC üçgeninde [DC]2 = [DO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplanırsa

[AB]2 + [DC]2 = [AO]2 + [DO]2 +[BO]2 +[OC]2 (1)

AOD üçgeninde [AD]2 = [AO]2 + [DO]2 BOC üçgeninde [BC]2 = [BO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplarsak

[AD]2 + [BC]2 = [AO]2 +[DO]2 + [BO]2 + [OC]2 (2)

(1) ve (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz. Öyleyse;

[AB]2 + [CD]2 = [BC]2 + [DA]2

*Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir. Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır. (Şek.9)

İspat: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC]’nin orta noktalarıdır.

CAB üçgeninde EH // BC CDB üçgeninde GF // BC ise EF // GF (1)

DAC üçgeninde GH // DA DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)

(1) ve (2)’den EFGH paralel kenar olur. Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] ‘dir.



*ABCD dışbükey dörtgeninin iç bölgesindeki herhangi bir nokta P ise (Köşegenlerin kesim noktası dışında);

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] ‘dir. (Şek.10)

İspat: PAC üçgeninde [PA] + [PC] > [AC] ve PBD üçgeninde [PB] + [PD] > [BD] dir. Taraf tarafa toplarsak

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] bulunur.

Not: P noktası köşegenlerin kesim noktası ise bu durumda [PA] + [PB] + [PC] + [PD] = [AC] + [BD] olur.

*ABCD dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları E ve F, [EF]= x ,[BD]= f, [AC]= e ise

‘dir. (Şek.11)

İspat: A ile F’ yi; F ile de C’ yi birleştirelim.[AF]= m,[FC]= n olsun.

ABD üçgeninde kenarortay teoremine göre (1)

DBC üçgeninde kenarortay teoremine göre (2)

(1) ve (2)’den

2 (m2+n2)=a2+b2+c2+d2-f2 (3)

FAC üçgeninde kenarortay teoremine göre ’dir. Buradan 4×2 = 2(m2+n2) -e2 yazılabilir.

2(m2+n2) yerine (3)’de bulduğumuz eşitlikle yazarsak 4×2 = a2+b2+c2+d2-f2-e2 olur.

Buradan dabulunur.  
0