Cevaplar

2013-01-02T16:36:15+02:00

Örnek:

Sayımızın kuralı: 5 ten sürekli olarak 2 çıkartılması olsun.

Örüntü şu şekilde devam eder:

5 5-3 5-(3+3) 5-(3+3+3) ……… 5-(n-1).3

1. terim 2. terim 3. terim 4. terim …….. n. terim

Görüldüğü gibi her terimde 5 sayısı sabit. Bu değişmeyen sabit terime, yani ilk terime “a1″ diyoruz.

Dikkat edersen her terimde; terim sayısının 1 eksiği 3 bulunmakta. Yani 2. terimde 1 tane 3, 3. terimdw 2 tane 3.

Son terime n. terim dersek ( n-1 ) tane 3 bulunur.

Bu yüzden yukarıdaki örüntünün kuralı şudur.

an= 5-(n-1).3

5 sayısını sürekli olarak 2 ile bölelim. ( Yani 1/2 ile çarpalım )

5 yerine de ilk terim anlamına gelen a1 yazarsak

an=a1-(n-1).3 olarak formül üretilir.

Burada an bize genel terimi, örüntünün formülünü verir.

Tekrar yukarıya bakıp terimlerin sonucunu bulursak;

5 3 1 -1 -3 …. şeklinde devam eder.

Her ardışık iki terima rasındaki fark bu soru için 2 dir.

0
2013-01-02T16:46:38+02:00

Aritmetik Dizi

A. TANIM

Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir. Diğer bir ifadeyle " n Î N+ için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d Î R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir.

ÖRNEK

(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.

an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.

B. GENEL TERİM

Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir.

5

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 3d

................................

an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.

Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.

ÖRNEK

İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d

an = 8 + (n – 1) 2

an = 2n + 6’dır.

C. ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir.

p - k

ÖRNEK

39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)

d = (22 – 19)/6

d = ½’ dir.

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :

d = b – a dır.

n + 1

ÖRNEK

- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-]/(8+1) = 36/9 = 4

Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,

Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da

2

Sn = n (a1 + an) olur.

2

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k<p iken,

ap = ap – k +ap + k dır.

2

ÖRNEK

19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan aritmetik dizinin 26. terimi kaçtır?

a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,

a26 = (a19+a33)/2

a26 = (42+8/2

a26 = 65’tir.

GEOMETRİK DİZİ

TANIM

Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir. Diğer bir ifadeyle

" n Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak

an

çarpan veya ortak oran denir.

ÖRNEK

(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir.

GENEL TERİM

Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda,

a1 = a1

a2 = r.a1

a3 = r.a2 = r2.a1

a4 = r.a3 = r3.a1

Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir.

ÖRNEK

İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 . a1

an = (1/2)n – 1 . 4

an = 23 - n

GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur.

ak

ÖRNEK

2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?



a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2

r3 = 75/3/5

r3 = 125

r = 5 tir.



Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a1.1 – rn olur.

1 – r

ÖRNEK

İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3. terimi nedir?

a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 . (1 – r3)/(1 – r)

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k < p iken, ap = dır.

ÖRNEK

3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?

a3 = ve a5 = (a3 . a7)1/2 6 = (3 . a7)1/2 36 = 3 . a7 a7 = 12’dir.

SONUÇ:

Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.

ÖRNEK:

Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n. terimi y’dir. Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y’ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x.6n – 1 6n = 6y/x ... (*)

Sn = a1.(1 – rn)/(1 – r) = x . (1 – 6n)/(1 – 6) = x . (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir.

SERİLER

A. TANIM

(an) reel terimli bir dizi olsun.

= a1+a2+a3+ ...+an + ... sonsuz toplamına seri denir.

an’e serinin genel terimi denir.

Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ ...+an toplamına serinin n. kısmi toplamı denir.

(Sn) = (S1,...,S2,...,S3,...,Sn,...) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir.

a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn’ dir.

b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır.

serisi yakınsak ise lim an = 0’dır. Bu ifadenin tersi doğru değildir.Yani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir.

lim an ¹ 0 ise serisi ıraksaktır.

1 1 1