Cevaplar

En İyi Cevap!
  • Eodev Kullanıcısı
2013-01-06T09:41:42+02:00

Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır. Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur. Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n=0'dan başlayarak numaralandırılır ve her satırdaki sayılar ise soldan itibaren k=0'dan başlayarak numaralandırılırlar. Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 4 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler çıkarılır. Eğer sağ ve sol üsttünde sayı yoksa buradaki değer 1 olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + 1 = 1'dir üçüncü satırda ise 4 ve 3 toplanarak 4. satırdaki 7 sayısını oluşturur.

Pascal kuralındaki binom katsayılarıyla ilişkili yapı aşağıdaki şekildeyse,

buradan

 olur.

Burada n negatif olmayan tam sayı ve k 0 ile n arasında bir tam sayıdır.

Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. 3 boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır.

Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor.

Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.)

Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavlazarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.

Formül,  olmak üzereÖrneğinüçgen sayılar

ikinci sıradan itibaren sağdan ya da soldan üçüncü sayı üçgen sayılardır

ikinin üsleri

pascal üçgeninin her satırı ikinin 0 dan itibaren üslerini verir

binom açılımı

(a-b) veya (a+b) parantezlerinin açılımının katsayılarını verir örnek: 

yazı tura

kaç parayla yazı tura attıysak o satırla ilgilenecez iki parayla yazı tura attık ikinci sıradaki sayıları toplayalım 4 çıktı ikinci sıra 1-2-1 dir birinci sıradan 2 tura 0 yazı diye sayalım iki paranın ikisininde tura gelme sansı1tura 1yazı gelme sansı  2yazı gelme sansı 

1 5 1
2013-01-06T09:42:28+02:00

 

bilinmeyenlerin belirlenmesini amaçlayan bilim” olarak tanımlardı. Matematik bilgisi ve yeteneği zamanın çok ötesinde olan Ömer Hayyam denklemlerle ilgili başarılı çalışmalar yapmıştır. Nitekim Hayyam 13 farklı 3. dereceden denklem tanımlamıştır. Denklemleri çoğunlukla geometrik metot kullanarak çözmüştür ve bu çözümler zekice seçilmiş 

konikler üzerine dayandırılmıştır. Bu kitabında iki koniğin arakesitini kullanarak 3. dereceden her denklem tipi için köklerin bir geometrik çizimi bulunduğunu belirtir ve bu köklerin varlık koşullarını tartışır. Bunun yanı sıra Hayyam, binom açılımını da bulmuştur.
     Binom teoremini ve bu açılımdaki katsayıları bulan ilk kişi olduğu düşünülmektedir. Pascal ,Ömer Hayyam’ ın üçgenini  kullanarak kendi buluşu gibi göstermiş demek bence yanlıştır.Çünkü o zamanlarda iletişim bu günkü kadar gelişmiş değildi.Dünya üzerinde farklı coğrafyalarda farklı medeniyet seviyeleri olduğunu da göz ardı etmemek lazım. Ama şunu söyleyebiliriz Pascal üçgeni diye bildiğimiz şey aslında bir Hayyam üçgenidir.

0