Cevaplar

2013-01-10T19:22:16+02:00

 

Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak:

 

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için:

 

1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ;

 

2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir.

 

 

f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2

elemanının 1’den fazla değeri olduğu

için fonksiyon değildir.

 

Tanım kümesinde açıkta eleman

kaldığı için fonksiyon değildir.

f(2) = tanımsız.

 

Her iki şartı da sağladığı için

fonksiyondur.

 

A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A) ile hesaplanır.

A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A  B şeklinde gösterilebilir.

x  A ve y B olmak üzere f : x   y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir.

 

Örnek 1: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun

 

Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir.

 

 

Örnek 2: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre y = f(x) = x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema yöntemiyle gösterin :

 

Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım :

f (1) = 3 ;   f(2) = 4 ; f(3) = 5 olduğundan

f (A) = {3,4,5} olur.

Venn şeması ile gösterimi ise şöyledir :

 

 

Örnek 3: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduğuna göre y = f(x) = x2+1 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve grafik yöntemiyle gösterelim:

 

Çözüm :

f(-1) = 2 ;

f (0) = 1 ;

f( 1) = 2 ;

f( 2) = 5 olduğuna göre :

f(A) = {1,2,5} olur.

Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise şöyledir :

 

 

Örnek 4 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

 

Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen değerlerini almak gerekir.

Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 }

Değer kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 }

Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }

 

 

Örnek 5 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

 

Çözüm :

Tanım kümesi = [-1,7] ;

Değer kümesi = [-5,8] ;

Görüntü kümesi = [-5,8] .

Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt kümesi olabilir.

 

 

Örnek 6 : Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur ?

 

Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın iki şartını da sağlıyor.

Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.

Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada kestiği için bir fonksiyondur.

 

 

Örnek 7: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur? bilgi yelpazesi.net

 

Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (- ,-4) aralığındaki değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir. Aynı zamanda [-4,) aralığındaki değerlerinin de birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için yeterlidir.

Diğer yaklaşım ile düşünüldüğünde (- ,-4) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği kesmiyor ki en az bir noktada kesmesi gerekirdi. Öte yandan [-4,) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği iki noktada kesiyor ki en fazla bir noktada kesmesi gerekirdi.

 

 

FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

 

1. İçine fonksiyon :

Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok) ise bu tür fonksiyonlara denir.

 

Örnek 8 :

 

 

2. Örten fonksiyon :

Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var) ise bu tür fonksiyonlara denir.

 

Örnek 9 :

 

 

 

 

Örnek 34 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?

Çözüm : Ters dönüşüm formullerinden yararlanarak     buluruz.

Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacağından ;

sin 8x fonksiyonunun periyodu ve

sin 2x fonksiyonunun periyodu ise olur.

f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK (      olur.

 

Örnek 35 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?

Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x olduğundan

         olur.

Bu nedenle     olur.

f(x) fonksiyonu da       

olacağından periyodu da              bulunur.

Sinkax ve coskax fonksiyonlarının periyotları k sayısı çift ise     ,

k sayısı tek ise     ;

tankax ve cotkax fonksiyonlarının periyotları

k sayısı ne olursa olsun ‘dır.

Buna göre aynı soru k =2 olduğundan bu bilgileri kullanarak ’ dir de diyebiliriz .

 

FONKSİYONLARIN TOPLAMI, FARKI, ÇARPIMI, BÖLÜMÜ:

f (x) ve g (x) fonksiyonları için

h (x) = ( f + g) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;

h (x) = ( f - g) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;

h (x) = ( f . g) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;

h (x) = ( f / g) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.

Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan

birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi

6 4 6