Cevaplar

2013-01-12T20:30:26+02:00

2. Fonksiyonun Artan, Azalan Olduğu Aralıklar ve
Ekstremum Noktaları
A, sonlu veya sonsuz bir aralık olmak üzere f: A→ IR fonksiyonu verilsin.
Ünite 5 de, eğer her x1, x2 ∈ A, x1 < x2 için f(x1) ≤ f(x2) ise f(x) fonksiyonuna A
üzerinde monoton artan fonksiyon, f(x1) < f(x2) ise kesin artan fonksiyon demiştik.
Benzer şekilde, eğer her x1, x2 ∈ A, x1 < x2 için f(x1) ≥ f(x2) ise f(x) fonksiyonuna
A üzerinde monoton azalan fonksiyon, f(x1) > f(x2) ise kesin azalan fonksiyon
demiştik.
Grafiği şekil 10.1 deki gibi verilmiş y = f(x) fonksiyonu (a,b) ve (c,d) aralıklarında
kesin artan, (b, c) aralığında ise kesin azalandır.
Şekilden de görüldüğü gibi eğer y = f(x) fonksiyonu A aralığında kesin artan ise o zaman her bir x ∈A için (x, f(x)) noktasındaki teğet doğrusu apsis ekseni ile dar açı oluş-
turur. Fonksiyonun kesin azalan olduğu aralıkta ise teğet doğrusu apsis ekseni ile geniş açı oluşturur. Buna göre, türevlenebilir y = f(x) fonksiyonu verildiğinde:
T Ü R E V U Y G U L A M A L A R I 251
Şekil 10.1A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Eğer bir aralığın tüm x noktalarında f '(x) ≥ 0 ise fonksiyon bu aralıkta monoton artan, eğer f '(x) > 0 ise kesin artan fonksiyondur.
Eğer bir aralığın tüm x noktalarında f'(x) ≤ 0 ise fonksiyon bu aralıkta monoton azalan, eğer f'(x) < 0 ise kesin azalan fonksiyondur.
Bu sonuçlara göre, türevlenebilir y= f(x) fonksiyonunun kesin artan olduğu aralıkları bulmak için fonksiyonun f '(x) türevini bulup f'(x) > 0 eşitsizliğinin, kesin azalan olduğu aralıkları bulmak için ise f '(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kü-
melerinin bulunması gerekmektedir.
Örnek:
1) y= x
2

2) y= x
2
- 2x
3) y= x
3
- 3x + 3
4) y= 2x
3
- 3x
2
- 12x + 1
fonksiyonlarının kesin artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım.
Çözüm:
1) f(x)= x
2
, f '(x) = (x
2
)' = 2x olduğundan f '(x) türev fonksiyonunun işaret
tablosu aşağıdaki gibidir (2. üniteye bakınız):
Buna göre, y = x
2
fonksiyonu (0, ∞) aralığında kesin artan, (- ∞, 0) aralığında
ise kesin azalandır.
2) f(x)= x
2
- 2x, f'(x) = (x
2
- 2x)' = 2x - 2 olduğundan türev fonksiyonunun
işaret tablosu aşağıdaki gibidir:

0
2013-01-12T22:44:11+02:00

9y eşittir x eşittir dörte .....................

0