Cevaplar

  • Eodev Kullanıcısı
2013-01-13T14:27:25+02:00

Bağımlı Olay

A ve B gibi iki olay olsun. A olayının gerçekleşme şekli, B olayının sonucuna göre değişebiliyorsa, bu iki olaya bağımlı olaylar denir. 
P( A) ==> A olayının gerçekleşme olasılığı;
P( B) ==> B olayının gerçekleşme olasılığı; 
P(A|B) ==> B verilmişken A olayının gerçekleşme olasılığı olarak gösterilir.
A ve B olayları bağımlı iki olay ise, A ve B olayının birlikte gerçekleşme olasılığı P(A∩B) = P(A|B). P( B) şeklinde tanımlanabilir.


Örnek:1
İçerisinde 4 mavi 5 kırmızı top bulunan bir torbadan, çekilen bir top yerine konulmaksızın ard arda 2 top çekiliyor. Çekilen iki topun da mavi olma olasılığı nedir?
Çözüm: 
A olayı, çekilen ilk topun mavi olması,
B olayı, çekilen ikinci topun mavi olması olsun.
Bu durumda;
P( A) = 4/9 ve P(B|A)= 3/8 olacaktır. 

Örnek:2
Birinci kutuda 6 kırmızı 6 mavi top, ikinci kutuda 3 kırmızı 2 mavi top vardır. Rasgele seçilen bir kutudan çekilen topun kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
A olayı, I. kutunun seçilmesi,
B olayı, II. kutunun seçilmesi,
C olayı, Kırmızı topun çekilmesi olsun.

I. yada II. kutunun seçilmesine göre sonucun değişebileceğinden bu iki olay bağımlı olay olarak değerlendirilmektedir.
Bu durumda P( C) = P( I. kutunun seçilmesi ve kırmızı gelmesi) + P(II. kutunun seçilmesi ve kırmızı gelmesi) şeklinde olacaktır.
yani, P( C) = P( A∩C) + P(B∩C) veya P( C) = P( A).P(C|A) + P( B).P(C|B) olacaktır.

Yandaki ağaç şekli incelenecek olursa, ilk olarak I. kutunun yada II. kutunun gelme olasılığı belirlenmiştir.
P( A) = P( B) = 1/2 dir. 
Kutunun seçilmesinin ardından, seçilen kutudan çekilen topun kırmızı gelme olasılığı 
hesaplanır ve sonuçlar toplanır.

Örnek:3
Birinci kutuda 2 kırmızı 4 mavi top, ikinci kutuda 3 kırmızı 5 mavi top vardır. Birinci kutudan bir top çekiliyor ve ikinci kutuya atılıyor. Ardından ikinci kutudan çekilecek topun mavi olma olasılığı nedir?

Çözüm:
A olayı, I. kutudan kırmızı çekilmesi,
B olayı, I. kutudan mavi çekilmesi,
C olayı, II. kutudan mavi topun çekilmesi olsun.
I. kutudan çekilen topa göre II. kutudan çekilecek topun çekilme sonucu değişebileceğinden bu iki olay bağımlı olay olarak değerlendirilmektedir.
P( C) = P(I. kutudan kırmızı ve II. kutudan mavi çekilmesi) + P(I. kutudan mavi ve II. kutudan mavi çekilmesi) şeklinde olacaktır.
P( C) = P(A∩C) + P(B∩C) veya P( C) = P( A).P(C|A) + P( B).P(C|B) olacaktır.


ağımsız Olay
Bağımsızlık şu biçimde tanımlanabilir:
A ve B olayları ancak ve ancak Pr(A ∩ B) = Pr( A)Pr( B) koşulu sağlanıyorsa bağımsızdırlar.Burada A ∩ BA ve B'nin kesişimini (A ve B olaylarının birlikte gerçekleştiği durumu) göstermektedir.
Daha genel anlamda, bir olay dizisi bu dizinin herhangi bir sonlu altkümesinin
koşulunu sağlaması durumunda karşılıklı bağımsızdır. Bu olgu bağımsız olaylar için çarpım kuralı olarak adlandırılmaktadır.
A ve B olayları bağımsız ise, B olayının gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere A'nın koşullu olasılığı bu olayın koşulsuz olasılığına eşittir.


Tüm bunlara karşın, bu ifadelerin bağımsızlık kavramının tam tanımını oluşturduğu söylenemez. Bunun nedeni, ifadede yer alan A ve B olaylarının yerlerinin değiştirilemeyecek oluşu ve bu tanımın olasılığın 0 olduğu durumlarda geçersiz kalmasıdır.
B'nin gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere A'nın koşullu olasılığı
 (Pr( B) ≠ 0 olduğu sürece)biçiminde tanımlanmaktadır.
 iken bu ifade
olarak da yazılabilir.

Burada sözü edilen bağımsızlık kavramı konuşma dilindeki karşılığından farklı bir anlam taşımaktadır. Örneğin, bir olayın kendinden bağımsız olması ancak ve ancak
koşulunun sağlanması durumunda gerçekleşebilir. Başka bir deyişle, bir olay ya da onun tümleyeni neredeyse kesin olarak gerçekleşiyorsa bu olay kendinden bağımsızdır.

1 5 1
2013-01-13T14:42:44+02:00

Bağımlı Olay

A ve B gibi iki olay olsun. A olayının gerçekleşme şekli, B olayının sonucuna göre değişebiliyorsa, bu iki olaya bağımlı olaylar denir. 
P( A) ==> A olayının gerçekleşme olasılığı;
P( B) ==> B olayının gerçekleşme olasılığı; 
P(A|B) ==> B verilmişken A olayının gerçekleşme olasılığı olarak gösterilir.
A ve B olayları bağımlı iki olay ise, A ve B olayının birlikte gerçekleşme olasılığı P(A∩B) = P(A|B). P( B) şeklinde tanımlanabilir.


Örnek:1
İçerisinde 4 mavi 5 kırmızı top bulunan bir torbadan, çekilen bir top yerine konulmaksızın ard arda 2 top çekiliyor. Çekilen iki topun da mavi olma olasılığı nedir?
Çözüm: 
A olayı, çekilen ilk topun mavi olması,
B olayı, çekilen ikinci topun mavi olması olsun.
Bu durumda;
P( A) = 4/9 ve P(B|A)= 3/8 olacaktır. 

Örnek:2
Birinci kutuda 6 kırmızı 6 mavi top, ikinci kutuda 3 kırmızı 2 mavi top vardır. Rasgele seçilen bir kutudan çekilen topun kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
A olayı, I. kutunun seçilmesi,
B olayı, II. kutunun seçilmesi,
C olayı, Kırmızı topun çekilmesi olsun.

I. yada II. kutunun seçilmesine göre sonucun değişebileceğinden bu iki olay bağımlı olay olarak değerlendirilmektedir.
Bu durumda P( C) = P( I. kutunun seçilmesi ve kırmızı gelmesi) + P(II. kutunun seçilmesi ve kırmızı gelmesi) şeklinde olacaktır.
yani, P( C) = P( A∩C) + P(B∩C) veya P( C) = P( A).P(C|A) + P( B).P(C|B) olacaktır.

Yandaki ağaç şekli incelenecek olursa, ilk olarak I. kutunun yada II. kutunun gelme olasılığı belirlenmiştir.
P( A) = P( B) = 1/2 dir. 
Kutunun seçilmesinin ardından, seçilen kutudan çekilen topun kırmızı gelme olasılığı 
hesaplanır ve sonuçlar toplanır.

0