Cevaplar

2013-01-13T16:28:23+02:00

RASYONEL SAYILAR

a ve b birer tamsayı, b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise, a/b şeklinde yazılabilen sayılara,Rasyonel Sayı denir. Yani, denk kesirlerin belirttiği sayıdır. Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa, Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir. Buradan, Rasyonel SayılarKümesini,

Q = {x: x=a/b; a, b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }

şeklinde gösterebiliriz. Örneğin,

1/5, 2/3, 4, 8/5, -1/2, -6/5, 0, ...

sayıları, birer rasyonel sayıdır.

Bazı Özellikler:

Her doğal sayı, bir tamsayıdır.

Her tamsayı, bir rasyonel sayıdır. Çünkü, tamsayıların paydası vardır ve 1' dir.

a/b = c/b ise, a=c dir.

a/b=c/d ise, a.d=b.c dir.

a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise, a=c ve b=d dir. 

RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER

1. TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için, paydaların eşit olması gerekir. Şayet, paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenir. Ortak payda, payda olarak alınırken, toplama işleminde payların toplamı paya, çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır. Bu kuralı, aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz: 


Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi, -a/b dir, yani ters işaretlisidir.

Örnekler: 








2. ÇARPMA İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının çarpımı, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır. Yani,

şeklinde yapılmalıdır. İşaret kuralı, tamsayılardaki gibidir. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, b/a dır. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi,

(a/b)-1 = b/a

şeklinde gösterilir.

Örnekler: 


3. BÖLME İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının bölümü, ilk sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır. Yani, ilk sayı, ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Bölme işleminin genel kuralı,

şeklindedir. Burada b, c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir. Çünkü, sıfıra bölme tanımsızdır. Diğer taraftan, sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü, sıfırdır. İşaret kuralı, çarpma işlemindeki gibidir.

Örnekler: 




Karışık Örnekler:

Örnek 1:

olduğuna göre,

toplamının a cinsinden değeri nedir?

Çözüm:

Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak,

olur. Yani, a+b=12 bulunur. Buradan, b=12-a çıkar. 




Örnek 2:

sayısı,

sayısının kaç katıdır?

Çözüm:

Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için, bölme işlemi yapılmalıdır. Bu takdirde,

Örnek 3:

olduğuna göre, a kaçtır?

Çözüm:

Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden,

yazabiliriz. Buradan, a/10 = 10-5, a/10 = 5, a= 10.5, a=50 bulunur.

Örnek 4:

Çözüm:

yazılabilir. Buradan,

4x + 5 = x2

x2-4x -5 = 0

Çarpımları -5, toplamları -4 olan iki sayı, -5 ile +1 olduğundan,

(x-5).(x+1) = 0

yazabiliriz. Böylece,

x=5 ile x=-1 bulunur. Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından, x = 5 olmalıdır.

Not: 5, 4' ün 1 fazlası olduğundan, sonuç 5 çıkmıştır. 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı, sonuç 9 olacaktı. 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak, şayet b, a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise, bu işlemin sonucu, b olur.

Örnek 5:

işleminin sonucu, yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6

Çözüm:

Verilen işlem, sonsuzlu işlem olduğundan, 3' ün paydasına x dersek, işlemin tamamı da x olur. Dolayısıyla,

yazabiliriz. Buradan, 4x -3 = x2, x2 -4x +3 = 0 olur. Bu denklem de, (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden, x=3 ile x=1 bulunur. Dolayısıyla, doğru seçenek (b) şıkkıdır.

Not:

işleminde, (a/2)2 = b ise, bu işlemin sonucu a/2 dir.

Örnek 6:

0