Cevaplar

2013-01-13T17:02:31+02:00

1/6 + 3/4=   2/7 + 8/9 = gibi benden bu kadar

1 5 1
2013-01-13T17:02:35+02:00

Rasyonel sayılar, (oranlı sayılar) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayıların oluşturduğu kümedir. Rasyonel sayılar tam sayıların bir genişlemesidir ve  ile gösterilir.  kümesi genelde şöyle tanımlanır:


(a ve b tam sayı ve sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara rasyonel sayı denir)

 ve  veya  eşdeğer rasyonel sayılardır. Dolayısıyla her rasyonel sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Rasyonel sayıların en basit biçimi  ve  tamsayılarının ortak böleninin olmadığı  ifadesidir.

Her tam sayı rasyonel sayıdır. Çünkü  veya  veya  şeklinde yani Rasyonel sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Rasyonel sayılar kümesi , tam sayılar kümesi 'yi kapsar. Yani .

Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir rasyonel sayı olarak anılır.  kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı  olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları  olurlar. Rasyonel sayı ise basitçe  şeklinde tanımlanır. Tanımda paydanın sıfır olmama şartı  ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir. Pozitif rasyonel sayılar kümesi ile, negatif rasyonel sayılar kümesi ile gösterilir.

Örneğin Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta

Yandaki şekilde, bir yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi  olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3'te 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu  ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3'e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4’e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

Konu başlıkları   [gizle]  1 Rasyonel sayıların cebirsel özellikleri 1.1 Rasyonel sayıların eşitliği 2 Rasyonel sayıları karşılaştırma (büyüklük, küçüklük) 2.1 Paydaları eşit olan rasyonel sayılar 2.2 Payları eşit olan rasyonel sayılar 2.3 Ne payları ne de paydaları eşit olan rasyonel sayılar 2.4 Arada olma 2.5 Kaynaklar Rasyonel sayıların cebirsel özellikleri [değiştir]

 olmak üzere:

Rasyonel sayılar aşağıda gösterildiği gibi birbirlerine eklenir:

Rasyonel sayılar arasındaki çarpma işlemlerinin kuralı aşağıdaki gibidir:

Rasyonel sayılar arasındaki bölme işlemi aşağıda gösterildiği gibidir:

Toplamaya ve Çarpmaya göre terslik özellikleri rasyonel sayılar içinde geçerlidir:

Rasyonel sayıların eşitliği [değiştir]

İki rasyonel sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının rasyonel olmasıyla anlaşılır.  olmak üzere  ve  iki rasyonel sayı ise bu iki sayı ancak  olduğunda eşittir.

Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkartılabilir. İki rasyonel sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten  koşulunu içermekteydi.

Rasyonel sayıları karşılaştırma (büyüklük, küçüklük) [değiştir] Paydaları eşit olan rasyonel sayılar [değiştir] Paydaları eşit olan rasyonel oranlar için payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür.ÖrneğinBurada paydalar eşit ve 20'dir. Pay değerleri karşılaştırılınca soldaki pay 7 sağdaki pay 3'den daha büyük olduğu için, soldaki rasyonel oran daha büyüktür.Unutmamalıdır ki negatif paylar karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin de ele alınması ve :negatif sayılı pay değerlerde mutlak değeri büyük görünen sayının daha küçük olduğu hatırlanmalıdır:Payda 20'ye eşit olup sağdaki negatif pay değeri -3, soldaki negatif pay değeri olan -7'den daha büyük olduğu için sağdaki oran daha büyüktür.Payları eşit olan rasyonel sayılar [değiştir] Payı eşit olan rasyonel sayılar için ise paydaları eşit olanın tam tersi bir kural uygulanır:Paylar eşit olduğunda bölünen parça sayısı yani payda büyüdükçe oluşan parça boyutları daha küçük olacaktır.Ne payları ne de paydaları eşit olan rasyonel sayılar [değiştir] Bu şekildeki durumlarda karşılaştırmadan evvel paydaların eşitlenmesi veya içler dışlar çarpımı yapılmasını gerektirir.

 

Paydaların eşitlenmesiHer iki rasyonel sayının da birbirlerinin paydalarıyla genişletilmesini gerektirir.

 

Yukarıda görüldüğü gibi genişletme işleminden sonra oluşan paydaların ikisi de  yani 40'dır. Yukarıda görüldüğü gibi karşılaştırılabilir.İçler dışlar çarpımıBirinci rasyonel sayının payının ikincinin paydasına, ikincinin paydasının ise birincinin payıyla çarpılmasıdır:Arada olma
0