Cevaplar

2013-01-15T17:08:41+02:00


Fibonacci sayıları ve Altın oran Fibonacci Sayıları Fibonacci Serisi

Adı orta çağın en büyük matematikçileri arasında geçen Fibonacci'nin hayatı ile ilgili pek fazla bilgi bulunmamaktadır. İtalya'nın Pisa şehrinde 1170'li yıllarda doğduğu sanılmakta, babasının işi nedeniyle Kuzey Afrika'ya ve Cezayir'e gitttiği ve burada Arap hocalardan matematik dersleri aldığı bilinmektedir. Hint-Arap sayılarını (1, 2, 3...) öğrenerek, bunları Avrupa'ya tanıtmıştır. Bu bakımdan Fibonacci, matematiği Araplardan alıp Avrupa'ya tanıtan kişi olarak anılır. (3)

“Fibonacci sayıları” ve özellikle “Altın Oran”, matematikçilerin oldukça ilgisini çekmiş ve birçok araştırmaya konu olmuş bulgulardır. Bunun sebepleri; Fibonacci dizisindeki sayıların oranı olan 1,61803... sayısının -ki buna “Altın Oran” denilmektedir- tarihte oyun kartlarından piramitlerin yapımına kadar birçok alanda kullanılmış olması, sayı teorilerinde ortaya çıkması ve doğada birçok varlıkta gözlemlenmesidir. (2)

İlk olarak 1202'de yazdığı Liber Abaci “The Book of Calculation” kitabının yeni versiyonunu 1228'de tamamlayan Fibonacci'nin, Practica Geometria “The Practice of Geometry” (1220) , Flos “The flower” (1225) ve Liber Quadratorum “The Book of Square Numbers” (1225) kitapları ise matematik alanında ele almış olduğu diğer eserlerdir. Bu kitapların içinde en ünlü olanı, Fibonacci sayılarıyla Altın Oran'ın anlatıldığı “Liber Abaci”dir. Kitapta karşılaşılan bir problemin çözümünde Fibonacci dizisi anlatılmaktadır. Bu problem aşağıdaki gibidir: (4), (5)

Tavşan Problemi
“Dört yanı duvarlarla çevrili bir yere bir çift tavşan konmuştur. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan yavruladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği varsayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?” Bu şekilde düşünüldüğü takdirde tavşan çiftleri aylara göre şu sıralamayı ortaya koymaktadır: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Görüldüğü gibi ilk iki sayı hariç, her sayı kendisinden önce gelen iki sayının toplamına eşittir. Tavşanlar, görülen grafik (bkz, resim 1) doğrultusunda artış göstermektedir. Bu sayıların arasındaki oran ise bize altın oranı vermektedir.

Fibonacci Dizisinin Görüldüğü ve Kullanıldığı Yerler
Fibonacci sayılarına özellikle doğada çok sık rastlamaktayız. Bu sayılar bitki yaprakları, bitki tohumları, çiçek yaprakları ve kozalaklarda sıkça karşımıza çıkmaktadır. Daha da ilginci bu sayılara Pascal veya Binom üçgeninde, Mimar Sinan'ın eserlerinde, Da Vinci'nin resimlerinde de rastlanmaktadır.

Da Vinci'nin yandaki (bkz: resim 2) yapıtında, Mona Lisa'nın başı etrafına bir dörtgen çizildiğinde, sağlanan dörtgen altın orana uymakta olup resmin boyutları da altın oranı vermektedir. (1) Fibonacci dizisindeki bir terim, ondan önce gelen bir terime bölündüğünde, bölümün sonsuza eşit olması için irrasyonal bir sayı olan altın oran sayısına yaklaştığı görülmektedir. (2)

Bitkiler alemine genel bir bakışla yaklaşıldığında ise, bitki sapları üzerindeki yaprakların dizilişinin Fibonacci dizisine uygun olduğu görülür. Bu yargı; kavak, elma, muz, armut, karaağaç gibi birçok bitki için geçerlidir.

Şekilde görüldüğü gibi (bkz: resim 3) sap üzerindeki yapraklar Fibonacci sayılarına uygun olarak, birbirlerini kapatmayacak şekilde sıralanır. Sap üzerindeki ilk yaprağı “1” numara olarak alırsak; “1” numara ile aynı yönde olan bir sonraki yaprağa ulaşmak için saat yönünde 3 defa dönmemiz gerekir. Bunun sonuncunda toplam 5 yaprak sayarız. Bu dönüşü saat yönünün tersinde yaparsak, 2 tur atmamız gerekecek ve bu da bize “2, 3, 5” ardışık Fibonacci dizisini verecektir.

Tütün bitkisi yapraklarının dizilişindeki Fibonacci dizisi ise, bitkinin güneşten ve havadaki karbondioksitten optimum düzeyde faydalanmasını sağlayarak, yüksek düzeyde fotosentez yapmasına olanak verir. Bu özellik eğrelti otunda da gözlemlenmektedir. Ayçiçeğinin üstündeki spiral şeklinde dizilmiş tohumları saat yönünde ve tersi yönde saydığımızda ardışık iki Fibonacci sayısına ulaşırız. Papatya çiçeğinde de aynı Fibonacci dizisi gözlenmektedir. Benzer bir durum çam kozalağı üzerindeki tanelerde de mevcuttur. Bu taneler kozalağın alt kısmındaki sabit bir noktadan başlayarak, tepe noktasındaki başka bir sabit noktaya doğru eğriler çizerek gelişirler ve bu gelişim sonunda taneleri soldan sağa ve sağdan sola doğru sayarsak başka bir Fibonacci dizisi elde ederiz. (6)

İnsan vücudunda da fibonacci dizisinin işaretlerini görebiliriz. Baştan göbek deliğine kadar olan uzunluğun boyumuza oranı, parmak uçlarından parmakların boğumuna kadar olan uzunluğun bütün parmak boyuna oranı bize fi sayısını verir.

Fibonacci dizisinin görüldüğü objeler yalnızca doğanın döngüsü içinde değil, insan yapılarında da mevcuttur. Kubbe ve kule tasarımları içeren ve genellikle eski çağlara ait mimari eserlerde de Fibonacci dizisi gözlemlenir. Mimar Sinan'ın yapmış olduğu Selimiye ve Süleymaniye camilerinin, kubbe ve minarelerinde altın oran gözlenmektedir. Matematikte ise başta geometri alanında kullanılan Pascal üçgenini göz önünde bulundurursak, üçgeni oluşturduktan sonra, katsayıların sıralı çapraz toplamları Fibonacci dizisini vermektedir. (1)

matematiğin en ilgi çekici konuları arasındadır.

Bir yarışmada aşağıdaki problem ortaya çıktı :

Her ay bir çift tavşan üreten tek bir tavşan çifti ile başlanırsa, üretilen her tavşan çifti de bir ay sonra aynı şekilde üretkenleşirse ve tavşanlar hiç ölmezse, n ay sonra toplam kaç tavşan çifti olur ?

0
2013-01-15T17:09:01+02:00

Fibonacci Hint-Arap sayıları ile aritmetik işlemler yapmanın Roma rakamları ile hesap yapmaktan çok daha basit ve verimli olduğunu gördü. Leonardo bütün Akdeniz bölgesini gezdi ve dönemin önde gelen Arap matematikçiler ile çalışma olanağı buldu. Leonardo yaklaşık olarak 1200 yıllarında bu seyahatinden döndü. 1202 yılına gelindiğinde 32 yaşında, öğrendiklerini "abaküs kitabı" veya "hesaplama kitabı" anlamına gelen Liber Abaci isimli eserinde topladı. Yayınladığı bu eserinde Hint-Arap Sayı Sistemi'ni avrupa'ya duyurdu.

Leonardo matematik ve bilim ile ilgilenmeyi seven Roma İmparatoru II. Frederick ile dost oldu. 1240 senesinde Pisa cumhuriyeti kendisini Leonardo Bigollo namıyla taltif edip onurlandı ve maaş bağlandı.

Liber Abaci

Liber Abaci'de (1202) Fibonacci, modus indium (Hintlilerin Yöntemi) adını verdiği ve günümüzde Arap-Hint sayıları diye bilinen modern ondalık sayı sistemini tanıtır. Bu kitap gündelik hayatta ticari defter tutma, ölçü birimlerini çevirme, faiz hesaplama, para bozma ve değiştirme ve benzeri işlemlerde önemini göstermiştir. Kitap Avrupa'da tahsilli insanlar arasında hızlı bir şekilde yayılmış ve Avrupa'nın müspet bilimde ilerlemesine önemli etkileri olmuştur.

Liber Abaci'de ayrıca kapalı bir ortamdaki bir tavşan ailesinin artışını, her tavşan çiftinin bir ay sonra bir yavru yapıp onun da 1 ay sonra 1 yavru yapacağı gibi ideal varsayımlar altında hesplanmasını gösterir. Bu problemin çözümünde tavşan çiftlerinin sayısının artışını gösteren sayı dizisi Fibonacci sayıları, diziye de Fibonacci dizisi denir. Bu sayı dizisi 6. yüzyıldan beridir Hintli matematikçiler tarafından bilinmekteydi ancak Avrupa'ya ilk olarak Fibonacci tarafından tanıtılmıştır.[7][8]


Fibonacci dizisi 

Daha önce 6. yüzyılda Hintli matematikçiler tarafından bulunmuş olan bu sayı dizisi Liber Abaci kitabında tavşanların üremesiyle ilgili problemin hesaplanması sonucu Fibonacci tarafından 1202 yılında ortaya konmuştu. Dizinin ilk sayı değeri 0, ikincisi 1 ve her ardışık elemanı da önceki iki elemanın değerinin toplamı alınarak bulunur ve bu halde 0, 1, 1(1+0), 2(1+1), 3(2+1), 5(3+2), 8(5+3), 13(8+5),21(13+8)... şeklinde artar. 




Altın oran 

Bu dizinin ileri elemanlarında, bir sonraki elemanın bir öncekine oranı Altın oran adı verilen ve yaklaşık 1,618 (1:0,618) değerine eşit bir sayıyı verir.

Altın oran matematikte genellikle , harfi ile gösterilir.

Tabiattaki canlılarda uzuvların oranı altın oran adı verilen 1.618... sayısına uygunluk gösterir. Antik mimari eserler ve bazı modern mimari eserler bu orana uygun tasarlanırlar. Altın orana uygun ölçülerdeki nesnelerin ve canlıların daha estetik olduğu ve güzel göründüğü savunulur...

Ayçiçeğinin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışıksik terimleridir. Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci Dizisi mevcuttur. Fibonacci dizisinde ardışık el birönceki elamının oranı deki ardışık terimlerin farkıyla oluşan dizi de Fibonacci dizisidir. Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi ortaya çıkar. Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci Dizisi'nin ardışık terimleridir.Bitkilerin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci Dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Mimar Sinan'ın da birçok eserinde Fibonacci dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu dizi mevcuttur.

 

 

 

..............................................................................................................................................

0