Cevaplar

2013-01-16T18:52:28+02:00

1. Giriş
Bundan önceki ünitede vektör uzaylarını ve alt uzaylarını inceledik. Bu ünitede
sonlu sayıdaki vektörlerin lineer bağımlılık ve lineer bağımsızlık özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir vektör uzayındaki lineer bağımsız vektörlerin önemini kavrayacağız.
2. Lineer Bağımlılık, Lineer Bağımsızlık
Bir V vektör uzayındaki x1 , x2 , ... , xk vektörlerinin kümesi E= {x1 , x2, ... , x k
}
olsun.
c1 x1 + c2 x2 + ... + ck
xk
= 0
eşitliğini sağlayan, hepsi aynı anda sıfır olmayan c1 , c2 , ... , ck
skalerleri varsa
x1 , x2 , ... , xk
vektörlerine lineer bağımlı vektörler, E kümesine de lineer bağımlı küme denir. Aksi halde yani,
c1 x1 + c2 x2 + ... + ck
xk
= 0
eşitliği ancak c1 = c2 = ... = ck = 0 için sağlanıyorsa x1 , x2 , ... , xk vektörlerine lineer bağımsız vektörler, E kümesine de lineer bağımsız küme denir. Burada şu
noktaya dikkat etmeliyiz:
c1 = c2 = ... = ck = 0 için
c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk = 0
eşitliği her zaman sağlanır, önemli olan, c1 x1 + c2 x2 + ... + ck xk = 0 eşitliğinin
yalnız ve yalnız c1 = c2 = ... = ck = 0 için sağlanmasıdır.
2.1. Örnek
R2
deki A= (1, 1) , B= (2, -3) vektörlerinin lineer bağımsız olduklarını gösterelim. Bunun için c1 ve c2 bilinmeyen sabitler olmak üzere,
c1 (1, 1) + c2 (2, -3) = 0
(c1 + 2c2 , c1 - 3c2) = 0

0
2013-01-16T18:52:30+02:00

TANIM1:  bir -vektör uzayı ve  olsun. Bu durumda  olmak üzere  denklemi yalnızca  durumunda sağlanıyorsa,  elemanlarına lineer bağımsızdır denir.

Burada en çok karıştırılan nokta şudur:

" durumunda zaten  denklemi sağlanıyor. O halde  lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir.  elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul  denkleminin  haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani,  elemanları lineer bağımsız ve  sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa  toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.

TANIM2:  bir -vektör uzayı olsun. Eğer,  lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:

 lineer bağımlıdır

 

 

Yani,  denkleminde en az bir  sıfırdan farklı olabiliyorsa  elemanları lineer bağımlıdır.

Basitten karmaşığa doğru örnekler verelim:

ÖRNEK1:  olsun.

3 1 3