Cevaplar

2013-01-17T16:38:42+02:00

SORU 1:

a ve b pozitif tam sayılardır.

a’nın 15 ile bölümünden kalan 7, b’nin 20 ile bölümünden kalan 9 olduğuna göre, a+b toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır ?

ÇÖZÜM 1:

a sayısının 15 ile bölümünden kalan 7 ise a=7, b’in 20 ile bölümünden kalan 9 olduğundan b=9 diyebiliriz. a+b=9+7=16 olur 16′nın 15 ile bölümünden kalan 1′dir.

——————————————————————————-

SORU 2:

Altı basamaklı bir doğal sayı, iki basamaklı bir doğal sayı ile bölünüyor.

Buna göre, bölüm en çok kaç basamaklıdır ?

ÇÖZÜM 2:

Altı basamaklı en büyük doğal sayıyı, iki basamaklı en küçük doğal sayıya böldüğümüzde en büyük bölümü elde ederiz.

Altı basamaklı en büyük doğal sayı 999 999 olur en küçük iki basamaklı doğal sayı da 10 olur.

999 999/10 işleminden bölüm 99999 olur yani 5 basamaklıdır.

——————————————————————————-

SORU 3:

Bir x doğal sayısının rakamları toplamı 20 olduğuna göre, 2x+5 ifadesinin 9 ile bölümünden kalan kaçtır ?

ÇÖZÜM 3:

9 ile bölünebilme kuralını hatırlayalım.

Bir sayısının rakamları toplamı 9′un katıysa 9 ile tam bölünür. Eğer ki rakamları toplamı 9′un katı değilse 9 ile bölümünden kalan rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir.

Soruya bakarsak 2x+5 ifadesininin sonucunun rakamları toplamı 2.20+5=45 olur 45 sayısı 9′un katı olduğundan kalan 0 ‘dır.

——————————————————————————-

SORU 4:

Beş basamaklı 4a57b sayısının 11 ile bölümünden kalan 7 dir. Buna göre b-a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM 4:

11 ile bölünebilme +,- şeklinde yazarak, -’ler kendi arasında +’lar kendi arasında toplanır.

4 a 5 7 b
+-+-+

(4+5+b)-(a+7)=11k+7

(9+b)-(a+7)=11k+7

2+b-a=11k+7

b-a=11k+5
b-a=11k+5

k=-1=> b-a=-6
k=0=> b-a=5

b-a değerleri toplamı : -6+5=-1 bulunur.

——————————————————————————-

SORU 5:

Üç basamaklı 8MN sayısı 11 ile tam olarak bölünebiliyor.Buna göre beş basamaklı 2M73N sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

ÇÖZÜM 5:

11 ile bölünebilme kuralı bir üst soruda verilmişti.

8+N-M=11k

N-M=11k-8

(2+7+N)-(M+3)=6+N-M=6+11k-8=11k-2

——————————————————————————-

SORU 6:

300 ile 700 arasında onlar basamağı 3 olan üç basamaklı 6 ile tam bölünebilen kaç farklı doğal sayı vardır?

ÇÖZÜM 6:

(_,_,_) basamak düşünelim onlar basamağı kesinlikle 3 olacakmış o halde sayı

(_,3,_) şeklinde olacak. yüzler basamağına gelebilecek sayılar 3,4,5,6 sayılarından herhangi biri olacak. ..(1)

6 ile bölünebilme kuralı için 2 ve 3 ‘ e bölünebilmesini incelememiz gerekir. Birler basamağı

0,2,4,6,8′den herhangi biri olabilir. (2)

(1)+(2)+3=3k olmalı bu şartı sağlayan sayıları bulalım
3+0+3=3k
3+6+3=3k
4+2+3=3k
4+8+3=3k
5+4+3=3k
6+0+3=3k
6+6+3=3k

7 tane sayı bulabiliriz.

——————————————————————————-

SORU 7:

0!+1!+2!+…+10! toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

ÇÖZÜM 7:

5! den sonra hep sıfır olacaktır. O halde

0!+1!+2!+3!+4!=k(mod5)

34=k(mod5)

k=4

——————————————————————————-

SORU 8:

24 basamaklı 345345..345 doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

ÇÖZÜM 8:

24 basamaklı 345345..345 sayısının içinde 8 tane 345′li grup vardır.

8.(3+4+5)=k(mod9)

8.12=k(mod9)

8.3=k(mod9)

24=6(mod9)

k=6 bulunur.

——————————————————————————-

SORU 9:

5 basamaklı 37a2b 12 ile tam bölünebildiğine göre a+b toplamının alabileceği farklı değerler kaç tanedir ?

SORU 9:

12 ile tam bölünüyorsa 4 ve 3 ile de tam bölünür.
4 ile bölünebilme kuralından 2b sayısının 4ün katı olması gerektiğinden
20,24,28 sayılarını seçebiliriz o halde
b=0
b=4
b=8 olur

3′e bölünebilmesi için de 12+a+b=3k olmalı

o halde

b=0 için a=0,4,6
b=4 için a=2,8
b=8 için a=0,4,8 değerleri bulunur.

buna göre; a+b 6 farklı değer alır.

——————————————————————————-

SORU 10:

(a23b) dört basamaklı sayısı hem 5 hem de 3 ile bölünebilen bir çift doğal sayı olduğuna göre “a” sayısı yerine hangi rakamlar gelebilir ?

ÇÖZÜM 10:

5′e bölünen bir çift sayının son basamağı “0″ olmalıdır.

yani sayımız a230 olacak. 3′e bölünebilme kuralı da rakamları toplamı 3 ün katı olmasıydı

a+2+3+0=5+a=3k olmalı bu durum da a=1,4,7 değerlerini alır.

0
2013-01-17T18:14:10+02:00

SORU 1:

a ve b pozitif tam sayılardır.

a’nın 15 ile bölümünden kalan 7, b’nin 20 ile bölümünden kalan 9 olduğuna göre, a+b toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır ?

ÇÖZÜM 1:

a sayısının 15 ile bölümünden kalan 7 ise a=7, b’in 20 ile bölümünden kalan 9 olduğundan b=9 diyebiliriz. a+b=9+7=16 olur 16′nın 15 ile bölümünden kalan 1′dir.

——————————————————————————-

SORU 2:

Altı basamaklı bir doğal sayı, iki basamaklı bir doğal sayı ile bölünüyor.

Buna göre, bölüm en çok kaç basamaklıdır ?

ÇÖZÜM 2:

Altı basamaklı en büyük doğal sayıyı, iki basamaklı en küçük doğal sayıya böldüğümüzde en büyük bölümü elde ederiz.

Altı basamaklı en büyük doğal sayı 999 999 olur en küçük iki basamaklı doğal sayı da 10 olur.

999 999/10 işleminden bölüm 99999 olur yani 5 basamaklıdır.

——————————————————————————-

SORU 3:

Bir x doğal sayısının rakamları toplamı 20 olduğuna göre, 2x+5 ifadesinin 9 ile bölümünden kalan kaçtır ?

ÇÖZÜM 3:

9 ile bölünebilme kuralını hatırlayalım.

Bir sayısının rakamları toplamı 9′un katıysa 9 ile tam bölünür. Eğer ki rakamları toplamı 9′un katı değilse 9 ile bölümünden kalan rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir.

Soruya bakarsak 2x+5 ifadesininin sonucunun rakamları toplamı 2.20+5=45 olur 45 sayısı 9′un katı olduğundan kalan 0 ‘dır.

——————————————————————————-

SORU 4:

Beş basamaklı 4a57b sayısının 11 ile bölümünden kalan 7 dir. Buna göre b-a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM 4:

11 ile bölünebilme +,- şeklinde yazarak, -’ler kendi arasında +’lar kendi arasında toplanır.

4 a 5 7 b
+-+-+

(4+5+b)-(a+7)=11k+7

(9+b)-(a+7)=11k+7

2+b-a=11k+7

b-a=11k+5
b-a=11k+5

k=-1=> b-a=-6
k=0=> b-a=5

b-a değerleri toplamı : -6+5=-1 bulunur.

——————————————————————————-

SORU 5:

Üç basamaklı 8MN sayısı 11 ile tam olarak bölünebiliyor.Buna göre beş basamaklı 2M73N sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

ÇÖZÜM 5:

11 ile bölünebilme kuralı bir üst soruda verilmişti.

8+N-M=11k

N-M=11k-8

(2+7+N)-(M+3)=6+N-M=6+11k-8=11k-2

——————————————————————————-

SORU 6:

300 ile 700 arasında onlar basamağı 3 olan üç basamaklı 6 ile tam bölünebilen kaç farklı doğal sayı vardır?

ÇÖZÜM 6:

(_,_,_) basamak düşünelim onlar basamağı kesinlikle 3 olacakmış o halde sayı

(_,3,_) şeklinde olacak. yüzler basamağına gelebilecek sayılar 3,4,5,6 sayılarından herhangi biri olacak. ..(1)

6 ile bölünebilme kuralı için 2 ve 3 ‘ e bölünebilmesini incelememiz gerekir. Birler basamağı

0,2,4,6,8′den herhangi biri olabilir. (2)

(1)+(2)+3=3k olmalı bu şartı sağlayan sayıları bulalım
3+0+3=3k
3+6+3=3k
4+2+3=3k
4+8+3=3k
5+4+3=3k
6+0+3=3k
6+6+3=3k

7 tane sayı bulabiliriz.

——————————————————————————-

SORU 7:

0!+1!+2!+…+10! toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

ÇÖZÜM 7:

5! den sonra hep sıfır olacaktır. O halde

0!+1!+2!+3!+4!=k(mod5)

34=k(mod5)

k=4

——————————————————————————-

SORU 8:

24 basamaklı 345345..345 doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

ÇÖZÜM 8:

24 basamaklı 345345..345 sayısının içinde 8 tane 345′li grup vardır.

8.(3+4+5)=k(mod9)

8.12=k(mod9)

8.3=k(mod9)

24=6(mod9)

k=6 bulunur.

——————————————————————————-

SORU 9:

5 basamaklı 37a2b 12 ile tam bölünebildiğine göre a+b toplamının alabileceği farklı değerler kaç tanedir ?

SORU 9:

12 ile tam bölünüyorsa 4 ve 3 ile de tam bölünür.
4 ile bölünebilme kuralından 2b sayısının 4ün katı olması gerektiğinden
20,24,28 sayılarını seçebiliriz o halde
b=0
b=4
b=8 olur

3′e bölünebilmesi için de 12+a+b=3k olmalı

o halde

b=0 için a=0,4,6
b=4 için a=2,8
b=8 için a=0,4,8 değerleri bulunur.

buna göre; a+b 6 farklı değer alır.

——————————————————————————-

SORU 10:

(a23b) dört basamaklı sayısı hem 5 hem de 3 ile bölünebilen bir çift doğal sayı olduğuna göre “a” sayısı yerine hangi rakamlar gelebilir ?

ÇÖZÜM 10:

5′e bölünen bir çift sayının son basamağı “0″ olmalıdır.

yani sayımız a230 olacak. 3′e bölünebilme kuralı da rakamları toplamı 3 ün katı olmasıydı

a+2+3+0=5+a=3k olmalı bu durum da a=1,4,7 değerlerini alır.

1 5 1