Cevaplar

2013-01-25T17:50:49+02:00

    SORU:   A- ( B U C ) =  (A-B ) ∩ ( A-C ) eşitliğinin doğruluğunu gösterelim.  
ÇÖZÜM:  A-(B U C) = A∩ (B U C) '
                = A ∩( B ∩ C' )                 (A-B = A ∩ B' olduğundan)
                = (A ∩ A) ∩ (B' ∩ C')                                ( De morgan kuralı )
                = (A ∩ B') ∩ (A ∩ C')                                ( Tek kuvvet özeliği )
                = (A-B) ∩ (A-C) bulunur.                  (kesişim işlemi birleşme özeliği)

               SORU:  ( A-B )' kümesinin  A' U B kümesine eşit olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:     ( A - B )' = ( A ∩ B' )' 
                     = A' U ( B' )'                                            (   ( A  - B ) = A ∩ B'  idi )
                     = A' U B   Olur.                                       (  De morgan kuralı )
                     = ( A - B )' = A' U B    Olur.

                SORU: A   ve  B   iki kümedir.   s( A ) = 2 . s( B ) ,  s( A - B ) = 10 ve    A ∩ B    kümesinin Alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,B kümesinin eleman sayısını bulalım .

ÇÖZÜM :   A ∩ B  kümesinin alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,
                   2n = 64 = 26 Þ  n = 6 bulunur.                      = 10 + 6 = 16 olur.
                   s( A ∩ B ) = 6 olur.                                        s( A ) = 2 . s ( B )
                   s( A ) = s( A – B ) + s ( A ∩ B )                  16 = 2 . s( B ) Þ s( B ) = 8 bulunur.

                SORU: s( A ) = 10 , s( B ) = 9 , s ( A U B ) = 15 ise s ( A - B )’yi bulalım    

ÇÖZÜM : s( A ∩ B ) = x  olsun                                              A                              B
                 s( A U B ) = s( A ) + s( B ) -s( A ∩ B )                   
                 15 = 10 + 9 – x
                 x = 4 olur.
                s( A – B ) = s( A ) – s( A ∩ B )
                = 10 – 4 = 6 olur.


                                                                    
             SORU:  Bir turist gurubu Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerden oluşmuştur. Grubun % 60’ı almanca, % 80’ni ingilizce biliyor.Grupta her iki dili konuşan 8 kişi vardır. Bu turist grubunda kaç kişi vardır?
 ÇÖZÜM:       Grubu 100 kişi kabul edelim
                        s( A U  İ )  = s( A ) + s( İ )  -  s( A ∩ İ )         40             8   kişi karşılık gelirse
                        100 = 60 + 80 - s( A ∩ İ )                             100             X   kişi karşılık gelir.
                         Þ s( A ∩ İ ) = 40                                           x  =   100 ٠ 8     = 20
                                                                                                               40        
            SORU: İngizce veya Almanca dillerinden en az birinin bilindiği 34 kişilik bir turist grubunda sadece İngilizce bilenlerin sayısı, her iki dili bilenlerin  4 katından 1 fazladır. Bu grupta İngilizce bilen en fazla  kaç kişi vardır?                                                           
 
 ÇÖZÜM:   A                                               X + Y + Z = 34                 
                                                                     X =  4Y + 1
                                                                     X + Y + Z  = 4Y + 1 + Y + Z = 5Y + Z + 1 = 34
                                                                     5Y=33-Z     Z en küçük olduğunda ingilizce
                                                                      bilenler en fazla olur.O halde Z=3 olmalıdır.
Z = 3 Þ 5Y = 33 - 2 = 33 - 3 = 30  Þ Y = 0
En fazla İngilizce bilenlerin sayısı  :  X + Y = 4Y + 1 + Y = 5Y + 1 = 5٠6 + 1 = 31’dir.
            SORU : 40 kişik bir grupta, 8 kişi futbol ve basketbol oynamaktadır.30 kişi bu oyunlardan en az birini oynamaktadır. Futbol oynayanların sayısı basketbol oynayanların sayısından 6 fazladır. Bu grupta futbol oynamayan kaç kişi vardır. 
ÇÖZÜM :                               
                                              Grup  x + y + z + t = 40 kişi
                                              Futbol ve Basketbol oynayan  y = 8  kişi
                                              Futbol ve Baketboldan en az birini oynayanlar x + y + z = 30kişi
                                              Futbol  oynayanlar (x + y ) basketbol oynayanlardan                                                                                                                        
                                                   ( y + 2 ) den  6 fazladır.

                X + Y = Y + Z + 6 Þ X - Z = 6                            X + Y + Z + t = 40 Þ t = 10
                X + Y + Z = X + 8 + Z = 30 Þ X + Z = 22          futbol oynamayan
 X – Z = 6          Þ Z = 8                        Z + t = 8 + 10 =18   kişidir.                 
X + Z = 22  

                                                  

            SORU : P( X , Y ) : 2x - 3Y < 5  açık önermesinin P( - 2 , 1 ) için doğruluk değerlerini  bulalım.
ÇÖZÜM:   2x - 3Y < 5   açık önermesinde ,  x  = - 2  ve Y = 1 yazalım. 
                  2 ( - 2 ) – 3 . 1 < 5 Þ  - 4 – 3 < 5 Þ  - 7 < 5 doğru olduğundan
                  P(  X , Y )   açık önermesinin  doğruluk değerleri 1 dir.

             SORU :   ( A I B' ) U ( A I B ) ifadesini en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A I B' ) U ( A I B )  = A I ( B' U B )
                 = A I E
                 = A' olur.

            SORU: A - ( B I C ) = ( A – B ) U ( A – C ) olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM:  A - ( B I C ) = A I ( B I C )'
                  = A I ( B' U C' )
                  = ( A I B' ) U ( A I C' ) 
                  =(A – B) U (A – C) olur.
             SORU:  ( A U B ) - ( A – B ) kümesini  en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A U B ) - ( A - B ) = ( A U B ) I ( A I B' )' ( C - D ) = (C I D' )
                  =  ( A U B ) I ( A' U B )              ( De morgan ) 
                  = ( A I A' )  U B                         ( A I A' = Æ ) 
           = B                                       ( B U Æ = B )
             SORU:  ( A I B' ) U ( A U B' ) = B - A olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM:  ( A I B' ) C ( A U B' ) = A U B' olur.
                   Buna göre, C' = ( A U B )' = A I ( B')'
                    = A I B' =  B I A' =  B - A olur.
               SORU: ( A I B ) U ( A / B ) kümesini en kısa biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A I B ) U ( A I B' ) =  ( A I B ) U ( A I B' )                
                  =  ( A I ( B U B' ) = A bulunur.

0
2013-01-25T17:51:36+02:00

1) A = { 5 , 10 , { 15 } , 20 , { 25 , 30 } , 35 } kümesi için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur ?

·        s(A) = 7 ·        5 ∈ A ·        25 ∈ A ·        10 ⊂ A ·        {15} ⊂ A ·        { 20 } ⊂ A

 

   2) s(A/B) = 3 ,  s(B/A) = 4  ve  s(A⋂B) ≠ 0  ise s(A⋃B) en az kaçtır ?

 

   3) 26 kişilik bir sınıfta öğrencilerin her biri İngilizce ve satranç kurslarından en az birine gitmektedir. İngilizce kursuna giden öğrenci sayısı 19 , satranç kursuna giden öğrenci sayısı ise 12 ise kaç kişi her iki kursa da gitmektedir ?

 

   4) A⋃B = { 1 , 2 , 5 , 8 , 9 ,11 }

      A⋃C = { 1 , 3 , 4 , 5 , 8 ,13 } 

ve B ve C ayrık iki kümeyse

ise A kümesinin eleman sayısı kaçtır ?

 

   5) s(A⋃B) = 25 , s(A/B) = 8  ve s (B/A) = 15 ise

s(A ⋂ B) kaçtır ?

 

   6) s(A⋃B) = 7 s (A⋂B)  ve s(A/B) = 2 s(B/A) ve s(A⋂B) = 3 ise

s( A/B ) = ?

 

   7) A = { 13 den küçük 2 nin tam katı olan doğal sayılar }

       B = { 13 den küçük 3 ün tam katı olan doğal sayılar }

ise s(A’) + s(B’)  kaçtır ? 

-------------ÇÖZÜMLERR...............................

1) A = { 5 , 10 , { 15 } , 20 , { 25 , 30 } , 35 } kümesinin  her bir elemanını farklı renklendirdik..

·        s(A) = 7 yanlıştır, çünkü A kümesinin eleman sayısı 6 dır. ·        5 ∈ A  doğrudur. ·        25 ∈ A yanlıştır, çünkü { 25 , 30 } başlı başına bir elemandır. ·        10 ⊂ A yanlıştır, çünkü alt küme gösteriminde eleman { } içinde gösterilmelidir. Doğru gösterim { 10 }  A dır. ·        {15} ⊂ A  yanlıştır, çünkü elemanın kendisi {15} dir, bu elemanı tekrar {} içine almak gerekirdi. Yani doğru yazılım { {15} }  A dır. ·        { 20 } ⊂ A ifadesi doğrudur.

Yani şıklarımızın sadece 2 tanesi doğrudur.

 

   2) Soruda  s(AB) ≠ 0  dediğine göre kesişim kümesinin en az 1 elemanı vardır.

Buna göre birleşim kümesinin en küçük değerini ;
 s(A⋃B)  = s(A/B) +  s(B/A) + s(A ⋂ B)  formülünden

s(A⋃B)  =  3  + 4 + 1 =  8 olarak buluruz.

  

   3)  İngilizce kursuna gidenler kümesine İ , satranç kursuna gidenler kümesine de diyelim. 
Toplam öğrenci sayısını bulmak için İngilizce kursuna gidenlerle Satranç kursuna gidenlerin sayısını toplar her ikisine de giden sayısından çıkarmamız gerekir.

s(İ⋃S)  = s(İ) +  s(S) -  s(İ⋂S) 

Biz, toplam öğrenci sayısını, İngilizce kursuna giden öğrenci sayısını ve Satranç kursuna giden öğrenci sayısını biliyoruz. Bunları yerine koyarsak her iki  kursa giden öğrenci sayısını buluruz.

26 = 19 + 12 - (İ⋂S) 

26 = 31 - (İ⋂S)   

S)  = 5 

 

   4) A⋃B = { 1 , 2 , 5 , 8 , 9 ,11 }

       A⋃C = { 1 , 3 , 4 , 5 , 8 ,13 } 

A her iki birleşim kümesinde de olduğu için  her iki kümede de ortak elemanları bulduğumuzda A nın elemanlarını bulmuş oluruz. 1 , 5 ve 8 in her iki birleşim kümesinde olduğunu görüyoruz. Buna göre A nın eleman sayısı 3 dür.

 

   5) s(A⋃B)  = s(A/B) +  s(B/A) +  s(A⋂B)  formülünden

                  25  =   8 + 15 + s(A⋂B) 

                 25  =  23 + s(A⋂B) 

       s(A⋂B)  =  2 dir.

 

   6) Bize soruda s(A⋂B) = 3 ve   s (A⋃B) = 7 s(A⋂B)   veriliyor.

3 ü s (A⋂B) yerine koyarsak ;

s (A⋃B) = 7 x 3 = 21 olur.

Bize soruda s(A/B) = 2 s(B/A)  da veriliyor.

s(B/A) ye ■ dersek  s(A/B)  = 2■  olur.

s(A⋃B)  = s(A/B) +  s(B/A) +  s(A⋂B)   formülünden

   21    =  2■  + ■  + 3

   21  =  3■  + 3

   18 = 3■ 

    ■  = 6

Bize s(A/B) yi soruyordu, s(A/B)  2■  ile ifade edildiğinden ;

s( A/B ) = 12 olur.

 

   7) A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 }

        B = { 3 , 6 , 9 , 12 }

A’ = { 3 , 9 }   s(A’) = 2   [[ A kümesinde olmayan sayısı ]]

B’ = { 2 , 4 , 8 , 10 }   s(B’) = 4 [[ B kümesinde olmayan sayısı ]]

 

   s(A’) + s(B’) = 2 + 4 = 6 olur.

 

 

0