Cevaplar

2013-01-28T19:49:00+02:00
Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;
f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir. 
Diğer bir deyişle 
başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ; 
y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur. 



Örnek 26: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3 
= -sinx -3x +x3 
= -(sinx +3x -x3)
= -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.



Örnek 27: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)
= x2 + 4 -cosx 
= f(x) olduğundan çift fonksiyondur. 



Örnek 28: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
= x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.



Örnek 29: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0
olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir. 
Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni 
hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir.



Örnek 30: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz. 
Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur. 
Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur. 



8. Periyodik fonksiyonlar : 
Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir. 
Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir. 
Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda
f(x+t) = f(x) ==> ( x+t ) - x = t olur.
Örnek 31: f (x) = g ( 2x+3 ) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır. 
Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve 
( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır 
( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5 )
buradan t = 5/2 bulunur. 
f (x) fonksiyonunun periyodu t ise 
f (ax+b) fonksiyonunun periyodu  olur. 
Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre
g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik.
f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2 ) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.



Örnek 32 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3, 
g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise 
h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.



9. Trigonometrik fonksiyonlardan 
sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2 ; 
tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise  ‘dir.
Örnek 33 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu  ve 
sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu olduğundan 
f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan  ‘ dir.



Örnek 34 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : Ters dönüşüm formullerinden yararlanarak  buluruz.
Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacağından ; 
sin 8x fonksiyonunun periyodu ve 
sin 2x fonksiyonunun periyodu ise olur.
f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK (  olur. 



Örnek 35 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x olduğundan 
 olur.
Bu nedenle olur. 
f(x) fonksiyonu da 
olacağından periyodu da  bulunur.
Sinkax ve coskax fonksiyonlarının periyotları k sayısı çift ise ,
k sayısı tek ise ;
tankax ve cotkax fonksiyonlarının periyotları 
k sayısı ne olursa olsun ‘dır. 
Buna göre aynı soru k =2 olduğundan bu bilgileri kullanarak ’ dir de diyebiliriz .



FONKSİYONLARIN TOPLAMI, FARKI, ÇARPIMI, BÖLÜMÜ : f (x) ve g (x) fonksiyonları için 
h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;
h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;
h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;
h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.
Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan 
birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi 
f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır. 
Örnek 36 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = {-1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {-1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz. 
Çözüm : Tanım kümesi = A  B = {-1,2,3} olur.
h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan 
h (-1) = -3 
h ( 2) = 12 
h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde bulunur. 



Örnek 37 : f : A  B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve 
g : C  D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre 
h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz .
Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir. 
h (1) = 5f (1) = 10 ;
h (2) = 5f (2) = 15 ;
h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.    
1 5 1