Cevaplar

2013-02-10T11:55:26+02:00

 

 ax² + bx + c = 0 denkleminin  Δ < 0 iken  reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  Þ    x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

 Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

 

A.   TANIM:

  a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen  z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir.

 C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve  Ö-1 = i } dir.

( i = Ö-1  Þ i² = -1 dir.)

  z = a + bi karmaşık sayısında  a  ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı,  b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = bşeklinde gösterilir.

 

Örnek:

 Z1 = 3 + 4i,  Z2 = 2 – 3i,  Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z2 = 2 - 3i  Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

Z3 =  Ö3 + i  Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,

Z4 =  7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

Z5 = 10i  Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

 

Örnek:

            x² - 2x + 5 = 0     denkleminin çözüm kümesini bulalım.

 

Çözüm:

 

 Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

 Δ = b² - 4ac = ( -2) ² -  4.1.5 = -16 = 16.i²

  X1,2 = -b ± ÖΔ   =  -(-2) ± Ö16i² =  2 ± 4i  = 1 ± 2i  dir.

              2a                   2.1              2

Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.

 

 

 

 

 

 

 

B.    İ ‘NİN KUVVETLERİ

 

 iº = 1,  i¹ = i,  i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...

 Görüldüğü gibi  i  nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

 

Buna göre , n Î N olmak üzere,

 

     i4n = 1

     i4n + 1 =  i

     i4n + 2  = -1

     i4n + 3 =  -i   dir.

 

 

Örnek:

 

  ( i14  +  i15 + 1 ).( i99 +  i100 – 1)  işleminin sonucunu bulalım.

 

Çözüm:

 i14  =  (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1

 i15  =  (i4)3.i3  = 13.(-i)  = -i

 i99  =  (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i

 i100 = (i4)25 = 125 = 1  olduğu için,

 

 (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i  + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1  dir.

 

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

 

 Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

 

 

Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2  ↔ (a = c ve b = d) dir.

Z2 = c + di }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Örnek:

          Z1 = a + 3 + 2bi + 3i

               Z 2 = 8 + (a + b)i

                  Z1 = Z2                 olduğuna göre, b değerini bulalım.

 

Çözüm:

  Z1= (a + 3) + (2b + 3)i,  Z2 = 8 + (a + b)i  ve  Z1 = Z2  olduğundan,

   a + 3 = 8 Þ  a = 5

   2b + 3 = a + b Þ  2b + 3 = 5 + b Þ b = 2  dir.

 

Örnek:

   Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i

   Z2 = 0

   Z1 = Z2     olduğuna göre, a.b değerini bulalım.

 

 

Çözüm:

 Z1 = Z2  olduğundan,

 a – 2 = 0 Þ a =2,

 a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.

O halde,  a.b = 2.(-5) = -10 dur.

 

D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

 

 

 

                                                   _

  Z = a + bi karmaşık sayı ise   Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniğidenir.

 

 

Örnek:

                                                     _

1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği   Z1 = 4 - 3i,

                                                          _

2) Z2  = Ö2 - Ö3i  sayısının eşleniği   Z2  = Ö2 + Ö3i,

                                                   _

3) Z3 = -7i   sayısının eşleniği   Z3 = 7i,  

                                                 _

4) Z4 = 12  sayısının eşleniği  Z4 = 12,

                                                                                    _

5) Z5 = Ö3 - Ö2  sayısının eşleniği  Z5 = Ö3 - Ö2   dir.

 

 Örnek: 

Z = a + bi olmak üzere,

                         _         

                    3 . Z – 1 = 2(4 – i)

olduğuna göre,  a + b toplamını bulalım.

 

  Çözüm:

                      _                      

                 3 . Z – 1 = 2(4 – i)

                 3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i

                 3a – 1 – 3bi = 8 – 2i

olduğundan,   3a –1 = 8    ve  -3b = -2 dir.

 

3a – 1 = 8  Þ  3a = 9  Þ  a = 3  ve

-3b = -2  Þ  b = 2/3  tür.

 

O halde,  a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:

 

 

                                                                                                     __

1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir  ( ( z)  = z )

.

2) Reel katsayılı ikinci dereceden  ax2 + bx + c = 0  denkleminin köklerinden biri Z = m + ni

                                                                                _

karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan  Z = m – ni  sayısıdır.

0
  • Eodev Kullanıcısı
2013-02-10T13:51:59+02:00

A. i NİN KUVVETLERİ

olmak üzere,

i0 = 1 dir.

i1 = i dir.

i2 = –1 dir.

i3 = i2 × i1 = (–1) × i = –i dir.

i4 = i2 × i2 = (–1) × (–1) = 1 dir.

i5 = i4 × i1 = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,

kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1,

kalan 1 ise, ix ifadesinin eşiti i,

kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1,

kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir.

Buna göre, n tam sayı olmak üzere,

i4n= 1,

i4n+1 = i,

i4n+2 = –1,

i4n+3 = –i dir.

 

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve olmak üzere,

z = a + bişeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir. Buna göre,

z = a + bi karmaşık sayısında;

a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,

b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.

z = a + bi ise

Re(z) = a

İm(z) = b

şeklinde gösterilir.

 

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır.

Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani, dir.

 

 

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

 

 

 

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

ve i2 = –1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

z karmaşık sayısının eşleniği ile gösterilir.

Buna göre,

 

 

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.

Buna göre,

 

 

Kural

Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

 

 

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,

dir.

 

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

 

2. Çıkarma İşlemi

z + (–w) = z – w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

 

3. Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,

 

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,

 

Kural

i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,

 

4. Bölme İşlemi

z1 × (z2)–1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir ve biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

z1 = a + bi ve z2 = c + di ise,

 

5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

z1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere,

 

G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

z = a + bi ve w = c + di olsun.

|z – w|

ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

 

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

 

Kural

z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla

|z – w| = r

eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.

|z – w| < r

eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir.

0