Cevaplar

2013-02-10T18:25:32+02:00

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin  de yazılamayan polinomlara  indirgenemeyen polinomlar denir.

                       Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar  Asal polinomlar  denir.

*  P(x) = x2 + 4 ,  Q(x) = 3x2 + 1,  R(x) = 2x – 3 ,  T(x) = - x + 7

      Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

      P(x) = x2 + 4  baş katsayısı 1 olduğundan  asal polinom dur.

Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

 *  a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4      b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2   özdeşlik

     c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2     özdeşlik değildir.

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

 

I)    Tam Kare Özdeşliği:

            a)     İki Terim Toplamının Karesi :  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

            b)       İki Terim farkının Karesi       :   (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin  karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

           c)       Üç Terim Toplamının Karesi:   (a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)    şeklindedir.

 

II)    İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

       a)       İki Terim Toplamının Küpü :  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 b)    İki Terim Farkının Küpü      :  (a – b)3 = a3  – 3a2b + 3ab2 – b3

Birinci terimin küpü;() birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,() ikincinin  küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom  Açılımıda denir

 Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak  4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli  lerin özdeşliklerini de yazabiliriz.

 III)   İki Kare Farkı Özdeşliği:      (a + b) (a – b) = a2 – b2

  İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir 

IV)    xn + yn  veya xn - yn  biçimindeki polinomların Özdeşliği :

   i)   İki küp Toplam veya Farkı :   a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

                                                        a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

  ii)                                        a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)

                                             a4 –  b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)

 iii)                           a5 + b5  = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

                                 a5 – b5  = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

  iv)               a6 + b6  = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)

                     a6 –  b6  = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)

   v)     a7 + b7  = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)

           a7 –  b7  = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)

 

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

       1)           x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy

       2)           x2 + y2  = (x – y)2 + 2xy

 3)        (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy

 4)        (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

 5)        x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)

 6)        x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y) 

 7)        x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)

 

   1)  İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?                                                                   

        x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy       2ab = 289 – 145

              145 =  (17)2 – 2ab          2ab = 144        ab = 72     C= 72

  2)   a – b = 6            (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab       (a + b)2 = 44

        a . b = 2                          = ( 6 )2  + 4.2             (a + b) =  

        a + b = ?                         =  36 + 8                                =

  3)   a – 2b = 3  ise;  a2 + 4b2 = ?    a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b

        a . b = 2                                                 = ( 3 )2 + 2. 2 .2  = 17

  4)   a + b = 12  ise;  a . b = ?    (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab    4 ab = 108

        a – b = 6                               ( 12 )2 = ( 6 )2  + 4ab           ab = 27

  5)    ise;     x2 + y2  = (x – y)2 + 2xy

              20

  6)  ise;               

                            Ç = {- 4 , 4}

   7)   m + n =8                        x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) 

         m . n = 1                         m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)

m3 + n3 = ?                                  = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488      

   8)   a3 – b3 = 50                    x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

         a – b = 2 ise;                   a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

         a . b = ?                          50 = 8 + 6ab  6ab = 42ab = 7

 9)     ise;       x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)                                                    

      = ( 3 )3 + 3.1.( 3 ) = 36

  10)    ise;     x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) 

        198

  11)  a + b + c = ?               a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

       ab + ac + bc = 12                          = ( 7 )2 – 2 ( 12 )

       a2 + b2 + c2 = ?                              = 49 – 24 = 25

 12)   ise;          

                        

        = 15

 13)      ise;                       C = 120

 14)      ise;                       C = 63

 15)    ise;                   C = 154

 16)    ise;                     C = 75

 17)     ise;                          C = 999

ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI

1)       Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :    Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır.   Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır 

     1)  Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız.

     a)  3a + 3b = 3(a + b)             b)  5m – 10mn = 5m (1 – 2)

     c)  12x + 9y =3(4x + 3y)       d)  3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)

     e)  3ax + 3ay – 3az                 f)  (a – b) x + 3 (a – b)

     g)  (m – n) – (a + b)(m – n)    h)   – a – b – x2 (a + b)

     ı)   x2(p – 3) + ma2 (3 – p)      i)   1 – 2x + m (2x – 1)

2)       Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :   Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer,   üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı  ortak çarpanlarına ayrılır.

2)  a)  mx + ny + my + nx           b)  xy – xb – yb + b2

     c)  x4 – 4 + 2x3 – 2x                d)  2x2 –3x – 6xy + 9y

     e)  x3 – x + 1 – x2                    f)   x4 – x + x3 – 1

    g)  ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2)     h)  ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

    ı)  mn(zi + y2) + zy (m2 + n2)  i)  a2b2 + 1 – (a2 + b2)

3)       Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :   Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı  nın iki katı ortadaki terimi  veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir    a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,         a2 – 2ab + b2 = (a – b)2  

3)  a)  x2 + 4xb + 4b2    b)  4a2 + 12ab + 9b2    c) 4a2b2 – 4abc + c2

4)  a) a2b + 8ab +16b3  b) 2m3 – 28m2 +98m   c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3

4)       İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :  Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu  Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.       a2 – b2 = (a + b) (a – b)

5)  a) 25 – 9a2b2           b) x4 – 1                        c) (m – n)2 – (m + n)2

6)  a) 18x2 – 2y2           b) 2a2b3 – 32b              c) 12x3y – 75xy5

7)  a) 9a2 – 6a +1 – b2  b) x2 – 12x + 36 – 4y2  c)16m2 – n2 – 6n – 9

     d)1 – x2 – 2xy – y2  e) m2 – n2 – 3m + 3n    f) a2 – 25b2 – a + 5b

    g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2               h)  9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2

5)       İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri  Çarpanlara Ayırma:  a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) ,  a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

8)   a) a3 + 8        b) 8 – m3     c) x3 + 1     d) 27a3 – 64   e) x3a3 + b3

9)   a) 81m3 – 3n3        b) 24x3y – 3y               c) 2x + 54x4

10)  a) (x +y)3 – 8         b) a3 + 8(a - b)3               c) (m – n)3 + 1

6)        xn  yn   biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:                         

 11)  a)  x4 + 1  =  (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)

       b)  x4 – 1  =  (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)

       c)  x5 + 25 =  (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

       d)  x5 – 1  =  (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)

     7)       Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma: Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare  ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

 

12)  4x4 + 7x2 + 4  ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

        4x4  +  7x2  + 4  =  4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2  = 4x4 + 8x2 + 4– x2

                                                                  = (2x2 + 2)2 – x2

        2x2               2                                = (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)

         2.2x2.2 = 8x2                                 = (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)

 

  

0
2013-02-10T19:00:29+02:00
Atla: kullan, ara x2 + cx + d = (x + a)(x + b)

Çarpanlara ayırma, bir polinomun, tam sayının ya da matrisin kendisini oluşturan bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır. Örneğin 15 sayısı 3 ve 5 asal sayılarının çarpımı şeklinde yazılabilir: 3 × 5, ya da x2 − 4 polinomu (x − 2)(x + 2) şeklinde yazılabilir.

Çarpanlara ayırmadaki temel amaç bir bütünü daha küçük yapılara ayırmaktır; sayıları asal sayıların çarpımı, polinomları indirgenemeyen polinomların çarpımı şeklinde yazmak gibi. Çarpanlara ayırmanın tersi genişletmedir.

Asal çarpanlarına ayırma çok büyük sayılar için zor bir problemdir. Bu problemin bilinen bir çözümü yoktur. Bu yüzden RSA gibi açık anahtarlı şifreleme yöntemlerinde kullanılır.

0