Cevaplar

2012-10-11T17:17:19+03:00

mesela z= 3+2i bunun eşlenegı 3-2i dr tam tersı yanı

0
2012-10-11T17:20:54+03:00

A)Sanal Sayı Kavramı

 

Sıfırdan farklı her reel sayının karesi pozitiftir, negatif olamaz. Sıfırın karesi sıfırdır.

 

Biz sanal olarak karesi negatif olan bir sayı düşünelim.

 

Örneğin karesi -1 olan bir sayı alırsak bu sayı bir sanal sayıdır. Bu sayıyı 'i' harfi ile gösterirler.

 

O halde    dir.

Buna göre i sanal sayısı karesi -1 olan bir sayıdır.(  )

Bu gösterimde 

 

Dikkat edilirse i'nin kuvvetleri daima {i,-1,-i,1}dir.

 

 

değerinin hangi eleman olduğunu şöyle buluruz: i nin üssü olan n sayısını 4'e böleriz.

 

Eğer:

 

kalan 0 ise sonuç 1

 

kalan 1 ise sonuç i

 

kalan 2 ise sonuç -1

 

kalan 3 ise sonuç -i dir.

 

 

Sanal Sayılarla İşlemler

 

Toplama, çıkarma ve çarpmada (i)'yi bir harf gibi alır, sonuçta (i)'nin bir kuvveti varsa değerini yazarak işlemi yaparız.

 

Örneğin:

 

a)2i+3i-5i+6i=6i

 

b)3i-5i+i=-i

 

c) 

 

 

Örnek=   olduğuna göre

 

 

Cevap= 127 yi 4 e bölersek 3, 445 i bölersek 1, 1997 yi bölersek 1 kalır yani:

 

 

 bulunur.

 

 

B)Karmaşık Sayılar

 

 olmak üzere a+bi=z sayısına karmaşık sayı denir.

 

 ifadesinde katsayılar reel sayı, üsler doğal sayı olduğu zaman P(x) bir polinom olur.

 

Her P(x) polinomu için  alındığında P(i) nin daima a+bi olacağını görürüz.

 

 

 

Karmaşık sayılar kümesi C harfi ile gösterilir.

 

 

 

Bir karmaşık sayı iki kısımdan oluşur. Bunlar reel kısım ve sanal kısımlardır.

 

z=a+bi karmaşık sayısında (bilgi yelpazesi.net) a reel kısım, b ise sanal kısımdır.

 

Reel kısım Re(z)=a, sanal kısım İm(z)=b biçiminde yazılarak gösterilir.

 

 

Karmaşık Sayıların Eşitliği

 

 

yani a+bi=x+yi ise a=x,b=y dir.

 

Eşit karmaşık sayılarda reel kısımlar bir birine, sanal kısımlar birbirine eşittir.

 

 

Karmaşık Sayının Eşleniği

 

Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmın işareti değiştirilerek elde edilen karmaşık sayıdır. Eşlenik sayı, esas karmaşık sayının üstüne bir çizgi çekilerek belirlenir.

z=a+bi ise eşleniği   dir.

 

3+2i nin eşleniği 3-2i dir.

 

 

KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

 

Karmaşık sayılarla, toplama çıkarma ve çarpma işlemleri polinomlarda olduğu gibi yapılır.

 

Toplama İşlemi

 

Toplamada, reel kısımlar toplanıp reel kısım; sanal kısımlar toplanıp sanal kısım bulunur.

 

Karmaşık sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı reel ve sanal kısımları 0(sıfır) olan karmaşık sayıdır.

 

Bir z karmaşık sayısının toplamaya göre tersi -z dir.

 

Örnek=

 

z'=3-2i , z^=5+7i , z^^=-6+3i olduğuna göre z'+z^+z^^ toplamı nedir?

 

Cevap=

(3-2i)+(5+7i)+(-6+3i)ise

3+5-6=2  ve -2i+7i+3i=8i dir.

=2+8i

 

 

Çıkarma İşlemi

 

İki karmaşık sayının farkı, için çıkan sayının toplamaya göre tersi ile toplamı yapılır, yani çıkan sayının işaretleri değiştirilerek toplama yapılır.

 

Örnek=

 

z=5+2i ve z'=4-3i ise z-z'=?

 

Cevap=

 

z-z'=(5+2i)-(4-3i)

=5+2i-4+3i

=1+5i  bulunur.

 

 

Çarpma İşlemi

 

Polinomlarda olduğu gibi yapılır. i nin kuvvetleri i türünden hesaplanarak çarpma işlemi yapılır.

 

Örnek=

z=3+4i ve z'=2-3i ise

z.z'=(3+4i).(2-3i)

=6-9i+8i+12

=6-9i+8i+12

=18-i bulunur.

 

 

Bölme İşlemi

 

Pay ve payda, paydanın (bilgi yelpazesi.net) eşleniği ile çarpılarak yapılır.

 

 

Örnek=

 

olduğuna göre 3+2i işleminin sonucu nedir?

 

Cevap=

3+2i = (3+2i).(5+3i) = 15+9i+10i+6

5-3i   (5-3i).(5+3i)         25-9i

 

=15+9i10i-6 = 9+19i  bulunur.

25+9        34

0