Cevaplar

2012-10-21T13:34:13+03:00

KARMAŞIK(KOMPLEKS) SAYILAR

 

 

 ax² + bx + c = 0 denkleminin  Δ < 0 iken  reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  Þ    x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

 Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

 

A.   TANIM:

  a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen  z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir.

 C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve  Ö-1 = i } dir.

( i = Ö-1  Þ i² = -1 dir.)

  z = a + bi karmaşık sayısında  a  ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı,  b  yekarmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

 

Örnek:

 Z1 = 3 + 4i,  Z2 = 2 – 3i,  Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z2 = 2 - 3i  Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

Z3 =  Ö3 + i  Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,

Z4 =  7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

Z5 = 10i  Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

 

Örnek:

            x² - 2x + 5 = 0     denkleminin çözüm kümesini bulalım.

 

Çözüm:

 

 Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

 Δ = b² - 4ac = ( -2) ² -  4.1.5 = -16 = 16.i²

  X1,2 = -b ± ÖΔ   =  -(-2) ± Ö16i² =  2 ± 4i  = 1 ± 2i  dir.

              2a                   2.1              2

Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.

 

 

 

 

 

 

 

B.    İ ‘NİN KUVVETLERİ

 

 iº = 1,  i¹ = i,  i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...

 Görüldüğü gibi  i  nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

 

Buna göre , n Î N olmak üzere,

 

     i4n = 1

     i4n + 1 =  i

     i4n + 2  = -1

     i4n + 3 =  -i   dir.

 

 

Örnek:

 

  ( i14  +  i15 + 1 ).( i99 +  i100 – 1)  işleminin sonucunu bulalım.

 

Çözüm:

 i14  =  (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1

 i15  =  (i4)3.i3  = 13.(-i)  = -i

 i99  =  (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i

 i100 = (i4)25 = 125 = 1  olduğu için,

 

 (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i  + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1  dir.

 

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

 

 Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

 

 

Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2  ↔ (a = c ve b = d) dir.

Z2 = c + di }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Örnek:

          Z1 = a + 3 + 2bi + 3i

               Z 2 = 8 + (a + b)i

                  Z1 = Z2                 olduğuna göre, b değerini bulalım.

 

Çözüm:

  Z1= (a + 3) + (2b + 3)i,  Z2 = 8 + (a + b)i  ve  Z1 = Z2  olduğundan,

   a + 3 = 8 Þ  a = 5

   2b + 3 = a + b Þ  2b + 3 = 5 + b Þ b = 2  dir.

 

Örnek:

   Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i

   Z2 = 0

   Z1 = Z2     olduğuna göre, a.b değerini bulalım.

 

 

Çözüm:

 Z1 = Z2  olduğundan,

 a – 2 = 0 Þ a =2,

 a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.

O halde,  a.b = 2.(-5) = -10 dur.

 

D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

 

 

 

                                                   _

  Z = a + bi karmaşık sayı ise   Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniğidenir.

 

 

Örnek:

                                                     _

1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği   Z1 = 4 - 3i,

                                                          _

2) Z2  = Ö2 - Ö3i  sayısının eşleniği   Z2  = Ö2 + Ö3i,

                                                   _

3) Z3 = -7i   sayısının eşleniği   Z3 = 7i,  

                                                 _

4) Z4 = 12  sayısının eşleniği  Z4 = 12,

                                                                                    _

5) Z5 = Ö3 - Ö2  sayısının eşleniği  Z5 = Ö3 - Ö2   dir.

 

 Örnek: 

Z = a + bi olmak üzere,

                         _         

                    3 . Z – 1 = 2(4 – i)

olduğuna göre,  a + b toplamını bulalım.

 

  Çözüm:

                      _                      

                 3 . Z – 1 = 2(4 – i)

                 3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i

                 3a – 1 – 3bi = 8 – 2i

olduğundan,   3a –1 = 8    ve  -3b = -2 dir.

 

3a – 1 = 8  Þ  3a = 9  Þ  a = 3  ve

-3b = -2  Þ  b = 2/3  tür.

 

O halde,  a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:

 

 

                                                                                                     __

1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir  ( ( z)  = z )

.

2) Reel katsayılı ikinci dereceden  ax2 + bx + c = 0  denkleminin köklerinden biri Z = m + ni

                                                                                _

karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan  Z = m – ni  sayısıdır.

0
2012-10-21T15:07:00+03:00

KARMAŞIK SAYILAR VE KOMPLEKS SAYILAR NE DEMEKTİR?

Karmaşık sayılar, gerçel sayıların bir genişlemesidir ve  ile gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi, gerçel sayılar kümesini kapsar. Karmaşık sayılar biri gerçel biri sanal olmak üzere iki kısımdan oluşur. Bütün karmaşık sayılar a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, a + bi biçimde yazılabilir. Burada ix2 = – 1

denkleminin köklerinden biri, başka bir deyişle -1′in kareköküdür. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde i yerine, jkullanılır.

Karmaşık sayılarda işlemler nasıl yapılır? Toplama ve çıkarma

 

Çarpma

 

Bölme

Diğer bir ifade yöntemiyle şu şekilde yazılır.

 olmak üzere; z = (a,b) = a + bi Buradan da anlaşılabileceği gibi Re(z) = a veIm(z) = b dir.

Toplama ve çarpma işlemi ise şu şekilde tanımlanır: z1 = (a,b),z2 = (c,d) olmak üzere;

Bu sonuçtan yukarıdaki eşitlikleri çıkartabiliriz.

0