Cevaplar

  • Eodev Kullanıcısı
2012-10-25T17:29:57+03:00
.:: 1 -  Doğrudan İspat :

          Örnek  : Bir tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir.
          İspat  : Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım. Açıklamada da belitildiği gibi bunlardan birinin tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu göstereceğiz. Mesela m tek ve n de çift olsun. m+n nin tek olduğunu göstereceğiz. m tek ve n de çift olduğundan;
m = 2a + 1
n = 2b
olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır. Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift sayıları 2b şeklinde yazabiliriz. Bizden m+n isteniyordu.
m + n = 2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1
olur. a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı dersek;
m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur.
Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir. Öyleyse m + n tek sayı olmalıdır. İspat tamamlanır.

.:: 2 -  Ters Durum İspatı : 
          Örnek : Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir.
          İspat : Burada P dediğimiz olay sayımızın karesinin çift olması, Q dediğimiz olay da bu sayının kendisinin çift olması yani;
 P = a sayısının karesi çifttir.
 Q = a sayısının kendisi çifttir.
(hatırlatma : bize verilen kabuller P olarak, istenen ise Q olarak kabul edilir). İlk ispat tekniğimizde P ise Q yu gösteriyorduk ve o teknikle bunu ispatlamanın güç olacağına deyinmiştik. Öyleyse şimdiki ispat tekniği ile yani Q değil ise P nin de olamayacağını gösterelim. Bunu söz ile ifade etmek istersek, bizim göstereceğimiz "Eğer a sayısı tek ise karesi de tektir." Bu ispat tekniğinde dikkat edilmesi gereken nokta bu Q değil ise P nin olmayacağını doğru olarak ifade etmektedir. Özetleyecek olursak; bu ispat tekniğinde "a nın karesi çift ise a da çifttir" ifadesini göstermek yerine "a tek ise karesi de tektir" ifadesini göstereceğiz. Şimdi bunu görelim. a yı tek kabul ettiğimizden, öyle bir k tamsayısı için a yı;
a = 2k + 1 oarak yazabiliriz.
a nın karesinin tek olduğunu göreceğiz. Karesini alırsak;
a2 = 4k2 + 4k + 1 = 4(k2 + k) + 1 olur.
ve k2 + k bir tamsayı olacağından buna m dersek;
a2 = 4(k2 + k) + 1 = 4m + 1 = 2.2m + 1
2m ifadesine de t dersek;
a2 = 2t +1 olur.
Bu da bize a2 nin tek olduğunu gösterir. Öyleyse a sayısı eğer tek ise karesinin de mutlaka tek olması gerektiğini gösterdiğimizden, karesi çift ise sayının kendisinin de çift olması gerektiğini söyleyebiliriz. Bu yöntemle önermeyi ilk yönteme göre çok daha kolaylıkla ispatlamış oluyoruz.

:: 3 -  Olmayana Ergi (Çelişkiyle ispat) Tekniği : 
          Örnek  : Kendi kenisiyle toplandığında kendisini veren sayı sıfırdır.
          İspat  : Bir x sayısını ele alalım. Önermede bizden x+x=x ise x=0 olduğunu göstermemiz isteniyor. Bu teknik ile ispatı göstermeye çalışalım. Hükmü (veya bazı durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım. Yani kabul edelim ki, x sıfırdan farklı bir sayı olsun. Bu durumda x+x ifadesine bakalım. Önermede bize x+x in x olduğu verilmişti. Yani x+x=x denilmişti. Ayrıca biz biliyoruz ki x+x=2x tir. Öyleyse bu eşitlikleri birleştirerek;
x = 2x  elde ederiz. x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden dolayı taraf tarafa x leri sadeleştirirsek (x in sıfırdan farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi yapamazdık). 
1 = 2  sonucu elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki x i sıfırdan farklı almamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse x=0 olmalıdır. Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat tamamlanmış oldu.
          Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul ederek bize verilen hipotezi kullanıp bir çelişkiye vardık. Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir. Tabi bu önermede x in sıfır olması gerektiği kolaylıkla görülebiliyor ancak tekniği anlayabilmek açısından böyle bir önerme seçtim. 

.:: 4 -  Tümevarım İle İspat Tekniği :

 Örnek  : 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1   biçimindeki sayıların toplamının n=1,2,3,4,5,... tamsayılarının herbiri için n2 olduğunu gösteriniz.
          İspat  : Tümevarım tekniği ile ispatı yapılabilen toplam serileri üzerine iyi bilinen örneklerden biridir. Tekniğe göre ilk adım olarak "1" için önermenin doğruluğunu görelim;
n=1 için : n=1 için bakacak olursak serinin toplamı 1 olacaktır. Sonuçta
1 = 12 olduğundan n=1 için önerme doğrudur.
n=k için önerme doğru olsun : Yani 1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 = k2 olsun.
n=k+1 için : n=k+1 için önermenin doğru olduğunu göstermek için;
1 + 3 + 5 + ... + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermeliyiz. Burada eşitliğin sol tarafındaki en son terimden bir önceki terim de yazılacak olursa;
1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermek istiyoruz. Bir önceki adımdaki kabulümüzden dolayı;
1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 = k2 olduğunu biliyoruz. Bunu yerine yazarsak
1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1)-1 = k2 + 2(k+1)-1 olacaktır. Bunun da (k+1)2 ye eşit olduğunu göreceğiz.
k2 + 2(k+1)-1 = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 dir.
Böylece önermenin k için doğru olduğunu kabul ederek k+1 için de sağlandığını göstermiş ve genel anlamda ispatlamış oluyoruz. 

0
2012-10-25T17:38:35+03:00
Matematiksel İspat Teknikleri

Özellikle öğrencilerin, gereksiz gördüğü ya da zor bulduğu için es geçtiği ispatlar aslında matematiğin en gerekli, çoğu zaman zevkli ve matematikçileri en çok uğraştıran kısmıdır. Ne de olsa ispatlar, matematiksel ifadelerin geçerliliğinin teminatıdır. Bugün cevabı bulunmamış pek çok matematik sorusu ispatlanması istenen ifadelerden ibarettir. İspat yapmanın çok çeşitli yolları vardır. Bu nedenle sık sorulan bir soru, bir teoremi ispatlamak için hangi tekniği seçmek gerektiğini nasıl bileceğimizdir? İşte bu, ancak pek çok ispatı incelemek ve çalışmakla kendinden gelişecek bir özelliktir. Kimi zamansa şanstır. Ama unutmayın şans ancak hazırlıklı kafalara güler! Hazırlıklı olmak için de, tekniklerden haberdar olmak gereklidir.

Her tekniği ve örneğini görmek için tıklayın.

 

Doğrudan İspat Yöntemi

En temel ve basit ispat şeklidir. Doğru olduğu gösterilmek istenen ifade, direk olarak, doğruluğu kanıtlanmış başka ifadelerle veya aksiyomlarla türetilir. Türetmek için, bu ifadeleri mantık kuralları çerçevesinde doğrudan birleştirme yapabilirsiniz. Bu birleştirmeyi örneklendirmek için felsefede oldukça sık kullanılan bir örneği verebiliriz:

Tüm insanlar ölümlüdür.
Sokrat bir insandır.

Verilen bu iki ifadeyi birleştirerek şu çıkarımı elde ederiz:

Sokrat bir ölümlüdür.

Matematikte "iki çift sayının toplamı çifttir"; "iki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır."şeklindeki ifadeleri doğrudan tanım kullanarak ispatlayabilirsiniz. Sadece tanımlar değil önceden ispatladığınız teoremler de ispat basamaklarında yer alabilir.

 olduğunu gösterin.

Doğrudan ispat: Bu, trigonometri kuramı kapsamında kalan bir konu. Kuramın bir önceki basamaklarında ispatlanmış olan

eşitliğini kullanarak doğrudan ispat yapabiliriz:


ispat tamamlanmıştır.

0