Cevaplar

En İyi Cevap!
2012-11-03T13:04:44+02:00

.............................................................................................................

1 5 1
2012-11-03T15:05:38+02:00

i sayının toplamının yarısımı büyüktür, çarpımının karekökü mü? İki sayının toplamının yarısına bu sayıların aritmetik ortalaması, çarpımının kareköküne de bu sayıların geometrik ortalaması diyelim ve bir deneme yapalım; örneğin 2 ve 8 sayıları için (2 + 8)/2 = 5 ve (2.8)1/2 = 4

Buna göre iki sayının toplamının yarısı yani aritmetik ortalaması daha büyük gibi duruyor. Acaba her x, ygerçel sayıları için bu doğrumudur? Yani her  R için (xy)1/2 < (y) /2 midir? Biraz dikkatli bakarsakx=aldığımızda (xy)1/2 = (y)/2 olduğunu görürüz ve şimdi de her x, y gerçel sayısı için (xy)1/2 (y)/2 olduğunu düşünebiliriz. Ancak biraz daha dikkatli olursak bunun pozitif sayılar için geçerli olabileceğini çünkü iki sayıdan biri pozitif diğeri negatif olsaydı eşitsizliğimizin sol tarafının sanal olacağını görürüz. Sanal sayılarda da eşitsizlik kavramının doğrudan uygulanamayacağı ancak bunların mutlak değerlerine uygulanabileceğini bildiğimizden, eşitsizliğimizin anlamlı olamayacağını, sayıların her ikisi de negatif olsaydı (xy)1/2 pozitif, (y)/2 negatif değer alıp bunun gösterilmesinin de bir değeri olmayacağını görebiliriz. O halde elimizde negatif olmayan ve sayıları için (xy)1/2  (y)/2 eşitsizliği kaldı. Biz de bunun üzerinde duralım ve çeşitli şekillerde ortaya çıkan gösterimlerine bakalım.

Teorem 1. Negatif olmayan x ve y sayıları için (xy)1/2 (y)/2' dir. (Eşitlik sadece x y olduğunda geçerlidir.)

Cebirsel Kanıt: (xy)1/2 (y)/2 ise 0  (y)/2 - (xy)1/2 buradan 0  - 2(xy)1/2 ve 0  ( y) 2 bulunur. Sağ taraf bir reel sayının karesi olduğundan negatif olamaz. O halde bu son eşitsizlik doğrudur ve buna denk olan (xy)1/2 (y)/2 eşitsizliği de doğrudur.

0