Cevaplar

  • Eodev Kullanıcısı
2012-11-04T16:32:06+02:00
Kartezyen Çarpım 

Sıralı ikili, iki nesnenin yönlü bir eşleştirilmesidir. yı b ile eşleyen sıralı ikili (a,b) şeklinde gösterilir. Sıralı ikilinin tanımlayıcı özelliği şudur.
(a,b)=(c,d) \iff a=c \text{ ve } b=d 
İki sıralı ikili birbirine eşitse, birinci eleman karşıdaki birinci elemana ve ikinci eleman da karşıdaki ikinci elemana eşittir. Bu tanımdan sıralı ikilinin yönlü olduğunu çıkarabiliriz. Örneğin herhangi bir (a,b) sıralı ikilisinin (b,a) sıralı ikilisine eşit olması için:
(a,b)=(b,a) \Rightarrow a=b \text{ ve } b=a
Bu da a\neq b ise sıralı ikilide yön değiştirecemeyeceğimizi gösterir.

A ve B gibi iki kümenin kartezyen çarpımı A \times B ile gösterilir ve A dan B ye yazılabilecek tüm (a,b) sıralı ikililerinin kümesidir. Kartezyen çarpım yönlüdür, sıralı ikililerde a \in A ve b \in B olmak zorundadır. Eğer Ave B aynı küme değilse A\times B \neq B\times A diyebiliriz. Çünkü B\times A durumunda ikililer ters dönmüştür ve (a,b) ikilileri (b,a) ikililerine eşit değildir. Kümelerden biri boş küme ise kartezyen çarpım boş kümedir: A \times \emptyset = \emptyset

Kartezyen çarpım kümesini göstermek için şöyle bir notasyon da kullanıyoruz:
A \times B = \{(a,b): a\in A \text{ ve } b\in B \}
a yı A dan ve b yi B den seçerek oluşturulacak (a,b) ikililerinin kümesi anlatılıyor.

Örneğin A kümesi iskambil destesindeki kağıt türleri ve B de numaraları olsun.

0
2012-11-04T16:32:19+02:00

Sıralı ikili, iki nesnenin yönlü bir eşleştirilmesidir. a yı b ile eşleyen sıralı ikili (a,b) şeklinde gösterilir. Sıralı ikilinin tanımlayıcı özelliği şudur.

(a,b)=(c,d)a=c ve b=d


İki sıralı ikili birbirine eşitse, birinci eleman karşıdaki birinci elemana ve ikinci eleman da karşıdaki ikinci elemana eşittir. Bu tanımdan sıralı ikilinin yönlü olduğunu çıkarabiliriz. Örneğin herhangi bir (a,b) sıralı ikilisinin (b,a) sıralı ikilisine eşit olması için:

(a,b)=(b,a)a=b ve b=a


Bu da ab ise sıralı ikilide yön değiştirecemeyeceğimizi gösterir.

 

A ve B gibi iki kümenin kartezyen çarpımı A×B ile gösterilir ve A dan B ye yazılabilecek tüm (a,b)sıralı ikililerinin kümesidir. Kartezyen çarpım yönlüdür, sıralı ikililerde aA ve bB olmak zorundadır. Eğer A ve B aynı küme değilse A×BB×A diyebiliriz. Çünkü B×A durumunda ikililer ters dönmüştür ve (a,b) ikilileri (b,a) ikililerine eşit değildir. Kümelerden biri boş küme ise kartezyen çarpım boş kümedir: A×=

Kartezyen çarpım kümesini göstermek için şöyle bir notasyon da kullanıyoruz:

A×B={(a,b):aA ve bB}


a yı A dan ve b yi B den seçerek oluşturulacak (a,b) ikililerinin kümesi anlatılıyor.

 

Örneğin A kümesi iskambil destesindeki kağıt türleri ve B de numaraları olsun.

Örnek

A={,,,} ve B={1,2,3,,10, Vale ,Kız,Papaz} ise A×B kümesini yazınız.

Çözüm

Bu durumda A×B kümesi şöyle olacaktır:

A×B={(,1),(,2),,(,Papaz),(,1),(,2),,(,Papaz),(,1),(,2),,(,Papaz),(,1),(,2),,(,Papaz)}

 

A×B nin eleman sayısına dikkat edelim. A daki her eleman B de 13 farklı elemanla eşleştiğinden kartezyen çarpımın eleman sayısı

s(A×B)=s(A)s(B)
B×A = A×B olmasa da eleman sayılarının aynı olacağı açıktır.

 

Kartezyen Çarpımın Özellikleri 

Kartezyen çarpımın küme işlemlerinden birleşme, kesişme ve fark üzerine dağılma özelliği vardır.
A,B ve C üç küme olsun.

A×(BC)=(A×B)(A×C) A×(BC)=(A×B)(A×C) A×(BC)=(A×B)(A×C) Kartezyen Çarpım ve Kartezyen Düzlem 

Sıralı ikilileri kartezyen koordinatlarda gösterebiliyoruz. İkilinin birinci elemanı için x ve ikinci elemanı için de y koordinatını kullanıyoruz.

Örnek

A={1,2} ve B={a,b,c} olmak üzere A×B ve B×A kümelerini kartezyen düzlemde gösteriniz.

Çözüm

A×B ve B×A

Eğer küme elemanları böyle sonlu sayıda değilse, bazı zorluklar var. Bir kümenin elemanları bir reel sayı aralığı olarak verilebilir. Örneğin 1x3 olabilir:

Örnek

A={x:1x3 ve xR} ve B={a,b} ise A×B kümesini kartezyen düzlemde gösteriniz.

Çözüm

Burada kartezyen çarpımın içerdiği ikilileri yazamayacağımız açık. Çünkü A kümesi 1 den 3 e kadar olan tüm reel sayıları içeriyor ve sonsuz elemanlı. Ancak örneğin a ile eşleşecek ikililerden bir kaç tane düşünelim. (1,a)(1.2,a)(1.5,a) gibi, ve en sonunda (3,a) olacaktır. Demek ki noktaların y koordinatı değişmeyecek ve x koordinatları 1 den 3 e kadar tüm sayılar olacak. Bu da, kartezyen düzlemde bir doğru parçasına denk gelmektedir.

Grafikteki doğru parçalarının üstünde alınan herhangi bir noktanın x koordinatı, 1x3 eşitsizliğini sağlar. [note1] Tam sınır noktaların örneğin (1,a) nın ya da (3,b) nin vurgulanmasının sebebi bu noktaların dahil olduğunu anlatmak içindir. Örneğin verilen eşitsizlik 1<x<3 olsaydı bu dairelerin içi boş çizilerek x i 1 ve 3 olan noktaların dahil olmadığı anlatılacaktı. [/note]

Örnek

A={x:1<x3 ve xR} ve B={x:2x<4 ve xR} ise A×B kümesini kartezyen düzlemde gösteriniz.[note2] İki kümede de x yazması kafa karıştırmamalı, biz orada verilenden bağımsız olarak birinci kümeyi x ve ikinci kümeyi y ekseninde göstereceğiz. [/note]

Çözüm

Burada artık bir dikdörtgen bölge sözkonusu. x koordinatı 1 le 3 arasında olan tüm noktalar (1,3] aralığını yukarı ve aşağı taşıyarak, yani x i değiştirmeyip y yi değiştirerek bulunabilir.

Aynı şekilde y koordinatı [2,4) aralığında olan noktalar da, bu aralığı yatay olarak kaydırarak, yani ykoordinatlarını değiştirmeyip x koordinatlarını değiştirerek bulunabilir.


Bu bölgelerin kesişiminden alınan (x,y) noktaları için xA ve yB
olacaktır.

0