Cevaplar

2012-09-25T19:44:31+03:00

 

Çözümlü Sorular

 (Olasılık, Koşullu olasılık, Bayes Teoremi)

 

1.)    Bir kişi 10 arkadaşından ikisini, her defasında farklı ikisi olmak üzere 3 gece yemeğe davet ederse, bu işlem kaç farklı şekilde yapılır?

Çözüm:

 farklı şekilde yapılır.

2.)    52 kartlık hilesiz bir deste 4 oyuncu arasında kaç farklı şekilde dağıtılır?

Çözüm:

4 oyuncuya dağıtım yapılması için her oyuncu 13 kart alır. O halde, oyuncular arasında fark olmadığından,

 

3.)    1,2,3,4,5,6 rakamları ile, kullanılan rakam yeniden kullanılmamak üzere 6 basamaklı sayılar yazılmak istendiğinde, bu sayıların kaçında 1,2,3 veya 5,6 sayıları verilen sırada birbirinden ayrılmadan yazılırlar?

Çözüm:

A= {1,2,3 sayılarını birbirinden ayırmadan yan yana bulunduran 6 basamaklı sayıların kümesi} B= {5 ve 6 sayılarını birbirinden ayırmadan yan yana bulunduran 6 basamaklı sayıların kümesi} olsunlar.  A kümesinde 123 yanyana tek sayı gibi düşünülürse, 123, 4,5,6 olmak üzere 4! biçimde sayı yazılır. n(A)= 4!=24 B kümesinde 56 yanyana tek sayı gibi düşünülürse, 1,2,3, 4,56 olmak üzere 5! biçimde sayı yazılır. n(B)= 5!=120

123 ve 56 birer sayı gibi düşünüldüğünde 123,4,56 sayılarının permütasyonu ile ii küme kesişimleri bulunur. 

Böylece,

 

4.)    İki zarın bir kez atılışında toplamın 7 ya da 10 gelmesi olasılığı nedir?

Çözüm:

A olayı toplamın 7 gelmesi : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

B olayı toplamın 10 gelmesi : (4,6), (5,5), (6,4)

A ve B ayrık olaylar olduklarından 7 YA DA 10 gelmesi

 

5.)    52 kartlık hilesiz bir desteden rasgele bir kart çekiliyor. Bu kartın bir ikili veya maça olması olasılığı nedir?

Çözüm:

A olayı: Maça çekilmesi ; B olayı: İkili çekilmesi

52 kart vardır. Bir destede 13 tane maça ve 4 tane de ikili vardır. Maça ikili ise 1 taedir.

 

Böylece

 

                 

                 

6.) 6 bilgisayar mühendisi ve 5 elektronik mühendisinden 7 kişilik bir kurul oluşturulacaktır. a.) Kurulda 4 bilgisayar müh., b.) Kurulda en az 4 bilgisayar müh. bulunması olasılığı nedir?

Çözüm:

a.)                b.)

7.) Bir torbada 1,2,…,8 numaraları verilmiş 8 bilye vardır. 4 bilye (yerine konmadan) aynı anda çekiliyor. Çekilen en küçük sayının 2 olması olasılığı nedir?

Çözüm:

2’den daha küçük olan tek bilye 1 numaralıdır. 1,2 ayrı olarak düşünülür. 6 bilye arasından 3’ü seçilir.

 

8.) Her biri 100 TL.’lık  olan 5 alışveriş çeki , 300 TL. değerinde 3 alışveriş çeki, 500 TL. olan 2 alışveriş çeki arasından 3 tanesi seçiliyor. A.) En az ikisinin aynı fiyatta, b.) Üç alışveriş çekinin toplam fiyatının 700 TL. olması olasılığını bulunuz.

Çözüm:
Aşağıdaki olayları tanımlayalım:

A= {En az ikisinin aynı fiyatta olması}

Tümleyeni ise A’ ={Tümünün farklı fiyatta olması}

 

olarak tanımlanır.

a.)   

b.) Toplamın 700 TL. olması için:

 500TL’den bir tane seçtiyse, 300TL’den seçemez, 2 tane 100TL’de seçer.

300 TL’den 2 tane seçtiyse, 100TL’den de 1 tane seçebilir.

 

9.) Bir kutudaki 1,2,…,10 olarak numaralanmış toplar arasından 5 top yerine konulmadan seçiliyor.  Çekilen 5 toptan ikinci en büyük sayının 8 olması olasılığını bulunuz.

Çözüm:

İkinci en büyük sayının 8 olabilmesi için 9 ve 10 numaralı top ile 8 numaralı top kesinlikle seçilecektir. Geriye kalan 7 toptan üçü seçilecektir. O halde,

 

 

10.) 1’den 9’a kadar numaralanmış kavanozlardan herhangi üçünün içinde birer tane bilye vardır. Bir kişi sırasıyla bunlardan 5 kavanoz seçiyor. İçerisinde bilye bulunan üç kavanozu da seçmişse, bir ödül kazanılacaktır. Kişinin ödülü kazanma olasılığı nedir?

Çözüm:

6 tane boş kavanoz, 3 tane dolu kavanoz vardır. Ödülü kazanabilmek için seçilen 5 kavanozdan en çok ikisinin dolu olması gerekir. A={Kişinin ödül kazanamaması} ve A’={Kişinin ödül kazanması} olarak tanımlanır.

 

         

          =5/42

11.) Bir öğrenci okula giderken yürürse 2/3 olasılıkla, otobüse binerse ¼ olasılıkla, babası arabayla götürürse 1/6 olasılıkla okula geç kalmaktadır. Bir sabah rasgele bir seçim yapmaktadır. Okula geç kalması olasılığı nedir?

Çözüm:

Olaylar tanımlanabilir:

G={Öğrencinin okula geç kalması}

Y={Yürümesi}

O={Otobüse binmesi}

A={Araba ile bırakılması}

 

P(G)= P(Y)P(G/Y)+P(O)P(G/O)+P(A)P(G/A)

   

    

12.) A ve B şirketleri bir proje üzerinde çalışmaktadırlar. A şirketi projenin ilk bölümünü ,B şirketi ise A bitirdikten sonra projenin ikinci bölümünü yapacaktır. A şirketi zamanında bitirirse, B şirketinin projeyi tamamlama olasılığı 0,90’dır. A şirketi tamamlayamazsa, B’nin tamamlaması olasılığı 0,20’dir. A şirketinin projeyi zamanında bitirmesi olasılığı 0,65 ise projenin zamanında bitmesi olasılığı nedir?

Çözüm:

Olaylar tanımlansın:

A={A şirketinin projeyi zamanında tamamlaması}

A’={A şirketinin projeyi zamanında tamamlamaması}

B={ A şirketinin projeyi zamanında tamamlaması}

T={Projenin zamanında tamamlanması}

 

P(B/A)=0,90

P(B/A’)=0,20

P(A)=0,65

P(T)=P(A) P(B/A) + P(A’) P(B/A’)

       =(0,65)(0,90) + (0,35)(0,20)

       =0,655

13.) Bir çantada üç para vardır. 2’si normal (yazı-tura), 1’i hilelidir (iki tarafı yazı). Rasgele seçilen bir para 4 defa atılıyor. 4 defa yazı geldiyse, bunun üçüncü para olması olasılığı nedir?

Çözüm:

Y={atılan paranın 4 defa yazı gelmesi olayı}

B={1. para olması}

İ={2. para olması}

Ü={3. para olması}

 

Koşullu olasılık ile,

 

           

yazılır.

 

olduğu için istenen olasılık

 

14.)Sipariş verilerek 24 tane cep telefonu ısmarlanmıştır. Telefonlardan rasgele 4 tane seçiliyor ve en az biri kusurlu çıkarsa, tüm ürünler iade ediliyor. Toplamda 3 kusurlu, 21 kusursuz telefon vardır. Ürünlerin iade edilmesi olasılığını bulunuz.

Çözüm:

A={4 telefondan en az birinin kusurlu olması}  ( Ürünler iade edilecek)

A’= {4 telefonun tümünün kusursuz olması}  ( Ürünler iade edilmeyecek)

P(A)=1-P(A’)

       

           

 

1 5 1