Cevaplar

2012-11-04T19:31:57+02:00

KÜMELERLE İLGİLİ SORU VE ÇÖZÜMLER


               SORU:   A- ( B U C ) =  (A-B ) ∩ ( A-C ) eşitliğinin doğruluğunu gösterelim.  
ÇÖZÜM:  A-(B U C) = A∩ (B U C) '
                = A ∩( B ∩ C' )                 (A-B = A ∩ B' olduğundan)
                = (A ∩ A) ∩ (B' ∩ C')                                ( De morgan kuralı )
                = (A ∩ B') ∩ (A ∩ C')                                ( Tek kuvvet özeliği )
                = (A-B) ∩ (A-C) bulunur.                  (kesişim işlemi birleşme özeliği)

               SORU:  ( A-B )' kümesinin  A' U B kümesine eşit olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:     ( A - B )' = ( A ∩ B' )'
                     = A' U ( B' )'                                            (   ( A  - B ) = A ∩ B'  idi )
                     = A' U B   Olur.                                       (  De morgan kuralı )
                     = ( A - B )' = A' U B    Olur.

                SORU: A   ve  B   iki kümedir.   s( A ) = 2 . s( B ) ,  s( A - B ) = 10 ve    A ∩ B    kümesinin Alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,B kümesinin eleman sayısını bulalım .

ÇÖZÜM :   A ∩ B  kümesinin alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,
                   2n = 64 = 26 Þ  n = 6 bulunur.                      = 10 + 6 = 16 olur.
                   s( A ∩ B ) = 6 olur.                                        s( A ) = 2 . s ( B )
                   s( A ) = s( A – B ) + s ( A ∩ B )                  16 = 2 . s( B ) Þ s( B ) = 8 bulunur.

                SORU: s( A ) = 10 , s( B ) = 9 , s ( A U B ) = 15 ise s ( A - B )’yi bulalım    

ÇÖZÜM : s( A ∩ B ) = x  olsun                                              A                              B
                 s( A U B ) = s( A ) + s( B ) -s( A ∩ B )                   
                 15 = 10 + 9 – x
                 x = 4 olur.
                s( A – B ) = s( A ) – s( A ∩ B )
                = 10 – 4 = 6 olur.


                                                                    
             SORU:  Bir turist gurubu Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerden oluşmuştur. Grubun % 60’ı almanca, % 80’ni ingilizce biliyor.Grupta her iki dili konuşan 8 kişi vardır. Bu turist grubunda kaç kişi vardır?
 ÇÖZÜM:       Grubu 100 kişi kabul edelim
                        s( A U  İ )  = s( A ) + s( İ )  -  s( A ∩ İ )         40             8   kişi karşılık gelirse
                        100 = 60 + 80 - s( A ∩ İ )                             100             X   kişi karşılık gelir.
                         Þ s( A ∩ İ ) = 40                                           x  =   100 ٠ 8     = 20
                                                                                                               40       
            SORU: İngizce veya Almanca dillerinden en az birinin bilindiği 34 kişilik bir turist grubunda sadece İngilizce bilenlerin sayısı, her iki dili bilenlerin  4 katından 1 fazladır. Bu grupta İngilizce bilen en fazla  kaç kişi vardır?                                                          
 
 ÇÖZÜM:   A                                               X + Y + Z = 34                
                                                                     X =  4Y + 1
                                                                     X + Y + Z  = 4Y + 1 + Y + Z = 5Y + Z + 1 = 34
                                                                     5Y=33-Z     Z en küçük olduğunda ingilizce
                                                                      bilenler en fazla olur.O halde Z=3 olmalıdır.
Z = 3 Þ 5Y = 33 - 2 = 33 - 3 = 30  Þ Y = 0
En fazla İngilizce bilenlerin sayısı  :  X + Y = 4Y + 1 + Y = 5Y + 1 = 5٠6 + 1 = 31’dir.
            SORU : 40 kişik bir grupta, 8 kişi futbol ve basketbol oynamaktadır.30 kişi bu oyunlardan en az birini oynamaktadır. Futbol oynayanların sayısı basketbol oynayanların sayısından 6 fazladır. Bu grupta futbol oynamayan kaç kişi vardır.
ÇÖZÜM :                              
                                              Grup  x + y + z + t = 40 kişi
                                              Futbol ve Basketbol oynayan  y = 8  kişi
                                              Futbol ve Baketboldan en az birini oynayanlar x + y + z = 30kişi
                                              Futbol  oynayanlar (x + y ) basketbol oynayanlardan                                                                                                                        
                                                   ( y + 2 ) den  6 fazladır.

                X + Y = Y + Z + 6 Þ X - Z = 6                            X + Y + Z + t = 40 Þ t = 10
                X + Y + Z = X + 8 + Z = 30 Þ X + Z = 22          futbol oynamayan
 X – Z = 6          Þ Z = 8                        Z + t = 8 + 10 =18   kişidir.                
X + Z = 22 

                                                 

            SORU : P( X , Y ) : 2x - 3Y < 5  açık önermesinin P( - 2 , 1 ) için doğruluk değerlerini  bulalım.
ÇÖZÜM:   2x - 3Y < 5   açık önermesinde ,  x  = - 2  ve Y = 1 yazalım.
                  2 ( - 2 ) – 3 . 1 < 5 Þ  - 4 – 3 < 5 Þ  - 7 < 5 doğru olduğundan
                  P(  X , Y )   açık önermesinin  doğruluk değerleri 1 dir.

             SORU :   ( A I B' ) U ( A I B ) ifadesini en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A I B' ) U ( A I B )  = A I ( B' U B )
                 = A I E
                 = A' olur.

            SORU: A - ( B I C ) = ( A – B ) U ( A – C ) olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM:  A - ( B I C ) = A I ( B I C )'
                  = A I ( B' U C' )
                  = ( A I B' ) U ( A I C' )
                  =(A – B) U (A – C) olur.
             SORU:  ( A U B ) - ( A – B ) kümesini  en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A U B ) - ( A - B ) = ( A U B ) I ( A I B' )' ( C - D ) = (C I D' )
                  =  ( A U B ) I ( A' U B )              ( De morgan )
                  = ( A I A' )  U B                         ( A I A' = Æ )
           = B                                       ( B U Æ = B )
             SORU:  ( A I B' ) U ( A U B' ) = B - A olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM:  ( A I B' ) C ( A U B' ) = A U B' olur.
                   Buna göre, C' = ( A U B )' = A I ( B')'
                    = A I B' =  B I A' =  B - A olur.
               SORU: ( A I B ) U ( A / B ) kümesini en kısa biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A I B ) U ( A I B' ) =  ( A I B ) U ( A I B' )               
                  =  ( A I ( B U B' ) = A bulunur.
            SORU:Bir turist grubunda  Almanca, İngilizce, ve Fransızca dillerinden en az  biri bilinmektedir. Almanca bilen 18, İngilizce bilen 20 , Fransızca bilen 15, Almanca ve Fransızca bilen 6,Almanca ve İngilizce bilen 3, Almanca , Fransızca,İngilizce dillerinin
Her üçünüde  bilen 2  kişidir. Turist grubu 41 kişi ise İngilizce ve Fransızca bilen kaç kişidir.

ÇÖZÜM:                                             s( A U İ U F)  = 41 ,  s( A ) = 18 , s( İ ) = 20 ,  s( F ) = 15
           A= { Almanca bilenler }      s( A I F ) = 6 ,  s( A I 1 ) = 3 , s( A I F I 1 ) = 2 ise
           F = { Fransızca bilenler }     s( 1 I F ) = ?
            İ = { İngilizce bilenler  }  olmak üzere
     s( A U I U F ) = s( A ) + s( I ) + s( F ) – s( A I 1 ) – s ( A I F ) – s(1 I F ) + s( A I 1 I F )
     41 = 18 + 20 +15 + - 3 – 6 - s( I I F ) + 2
    s( 1 I F ) = 5 ’ tir

                        SORU :  E = { a , b , c , d , e , f } evrensel küme    A = { a , c , e }  ise A'  kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM :  A' = { b , d , f }

             SORU : E ={ X : - 2 < X < 5 ,  X ∈ R }   evrensel küme;
A = { X : │ X – 1 │ < 3 , X ∈ R } ise A kümesinin tümleyeni kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM :     │X-1│< 3 Þ - 3 < X – 1 < 3
                       - 2 < X < 4
                       -2                                         5            E                     
                                                                                                 A’ = [ 4 , 5 ]  U { - 2 }
                      -2                            4                           A



           SORU :  A = { a , b , c , d , e } B = { a , c , k , p }   kümeleri için A B  ve B A  kümelerini bulunuz
ÇÖZÜM :   A B ={ b , d , e }
                    B A = { k , p }



           SORU :  A B kümesinin  8  tane  alt  kümesi , B A  kümesinin15  tane öz alt kümesi vardır. s( A U B ) = 12 ise   A I B  kümesinin  2  elemanlı  kaç tane alt kümesi vardır?
ÇÖZÜM  :      A                             B
                         X           Y       Z                  s( A B ) = x , s( A I B ) =Y , s( B A) = Z olsun.
                                                                     A B kümesinin  8 tane alt kümesi olduğundan
                                                                     2x = 8 = 23 Þ x = 3
B A kümesinin  15 tane öz alt kümesi olduğundan;
22 – 1 = 15 Þ 22 =16 = 24 Þ Z = 4
s( A U B ) = X + Y + Z = 12
3 + Y + 4 =12 Þ Y = 5
A I B kümesinin  2 elemanlı  alt  kümelerinin sayısı,
( 25 ) =  5.4  = 10 ‘dur
              2
            SORU :  A B'   kümesinin 7 tane özalt kümesi, A' I B   kümesinin en çok bir elemanlı 6 alt kümesi ve s( A U B ) = 14 ise A I B'  kümesi kaç elemanlıdır?
ÇÖZÜM :                                              s( A B' ) = s( A I B ) = Y , 2y – 1 = 7 Þ   y = 3
         A                          B                      s( A' I B ) = s( A B ) = Z ,
              X      Y         Z                                Z      +     2      = 6 Þ 2 = 5
                                                                     0              1
                                                              s( A U B ) = x + 3 + 5 = 14 Þ x = 6
                                                              s( A I B’ ) = s( A B ) = 6 ‘dır
            SORU : E evrensel kümesinde  A ve B kümeleri alınıyor. 
s( A ) + s( B' ) = 19   
s( A' ) + s( B ) = 21 ise   s( E )    kaçtır.
ÇÖZÜM :              s( A ) + s( B' ) =19                              2  s( E ) = 40 Þ s( E ) = 20 dir.
                                + s( A' ) + s( B ) = 21  
                               s( A ) + s( A' ) + s( B' ) + s( B ) = 40 

                                  =s( E )          +       s( E )         =  40

            SORU :  P( x ) :  3 x + 1 < 13  açık önermesinin  doğal sayılarda doğruluk kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM :        3 x + 1 < 13 Þ 3 x < 12 Þ x <  4 tür.
                     P( x ) önermesi     x  = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3  için doğrudur.
 Doğruluk kümesi   Ç = { 0 , 1 , 2 , 3 } ‘tür

0
  • Eodev Kullanıcısı
2012-11-04T19:32:29+02:00

matamatik  küme  soruları  çözümlü  yaz  çıkar

 

0